Part 1 定义

同数列的极限那样，我们用 $\varepsilon-\delta$ 语言来讨论当变量趋于某一点（或无穷远）时函数取值的变化趋势.

设 $x_0 \in \mathbb{R}$，$\delta > 0$. 我们将开区间 $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ 称为 $x_0$ 的一个开邻域；两个开区间之并 $(x_0 - \delta, x_0) \cup (x_0, x_0 + \delta)$ 称为 $x_0$ 的一个去心开邻域或空心开邻域.

定义1：

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的一个空心开邻域 $(x_0 - \delta_0, x_0) \cup (x_0, x_0 + \delta_0)$ 中有定义. 如果存在 $A \in \mathbb{R}$，使得对任意给定的 $\varepsilon > 0$，都存在 $0 < \delta < \delta_0$，当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，有

$$|f(x) - A| < \varepsilon,$$

则称函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处（当 $x$ 趋于 $x_0$ 时）有极限 $A$，记为

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = A \quad \text{或} \quad f(x) \to A \quad (x \to x_0).$$

需要注意的是，$f$ 在 $x_0$ 处的极限与 $f$ 在 $x_0$ 处的值没有直接关系，$f$ 甚至可以在 $x_0$ 处没有定义.

完全类似地，我们也可以定义 $x_0$ 处的单侧极限：

• 如果存在 $A \in \mathbb{R}$，使得对任意给定的 $\varepsilon > 0$，都存在 $0 < \delta < \delta_0$，当 $-\delta < x - x_0 < 0$ 时，有

  $$|f(x) - A| < \varepsilon,$$

  则称函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处（当 $x$ 趋于 $x_0^-$ 时）有左极限 $A$，记为

  $$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = A \quad \text{或} \quad f(x) \to A \quad (x \to x_0^-).$$

  $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左极限也记为 $f(x_0^-)$ 或 $f(x_0 - 0)$.

• 如果存在 $A \in \mathbb{R}$，使得对任意给定的 $\varepsilon > 0$，都存在 $0 < \delta < \delta_0$，当 $0 < x - x_0 < \delta$ 时，有

  $$|f(x) - A| < \varepsilon,$$

  则称函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处（当 $x$ 趋于 $x_0^+$ 时）有右极限 $A$，记为

  $$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = A \quad \text{or} \quad f(x) \to A \quad (x \to x_0^+).$$

  $f(x)$ 在 $x_0$ 处的右极限也记为 $f(x_0^+)$ 或 $f(x_0 + 0)$.

显然，如果 $f$ 在 $x_0$ 处极限存在，则其左右极限也存在且等于此极限.

命题1：$f$ 在 $x_0$ 处有极限的充分必要条件是 $f$ 在 $x_0$ 的左极限和右极限都存在且相等

只要证明充分性即可. 设 $f$ 在 $x_0$ 处的左极限和右极限均为 $A$. 由定义，任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta_1 > 0$, $\delta_2 > 0$，使得

$$|f(x) - A| < \varepsilon,\quad x \in (x_0 - \delta_1, x_0),$$

$$|f(x) - A| < \varepsilon,\quad x \in (x_0, x_0 + \delta_2).$$

记 $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$，则

$$|f(x) - A| < \varepsilon,\quad 0 < |x - x_0| < \delta.$$

因此 $f$ 在 $x_0$ 处的极限为 $A$.

/example/ 研究函数 $\dfrac{x^2 - 1}{2x^2 - 3x + 1}$ 在 $x_0 = 1$ 处的极限.

当 $x \ne 1$ 时，

$$\frac{x^2 - 1}{2x^2 - 3x + 1} = \frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)(2x-1)} = \frac{x+1}{2x-1},$$

因此，任给 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = \min\left\{\frac{1}{4}, \frac{\varepsilon}{6}\right\}$，当 $0 < |x - 1| < \delta$ 时，

$$\left|\frac{x^2 - 1}{2x^2 - 3x + 1} - 2\right| = \left|\frac{x+1}{2x-1} - 2\right| = \left|\frac{3(x-1)}{2x-1}\right| < 6|x - 1| < \varepsilon.$$

这说明该函数在 $x_0 = 1$ 处的极限为 $2$.

/example/ 研究函数 $f(x) = [x]$ 的极限.

当 $k \le x < k+1$（$k$ 为整数）时，$f(x) = k$. 这说明：

• 当 $x_0$ 不是整数时，$f$ 在 $x = x_0$ 处的极限等于 $f(x_0) = [x_0]$；
• 当 $x_0$ 为整数时，$f$ 在 $x = x_0$ 处的左极限为 $x_0 - 1$，右极限为 $x_0$.

数列极限的许多结果都可以推广到函数极限的情形, 如下面的夹逼原理和极限的惟一性

命题2（夹逼原理）：设在 $x_0$ 的一个空心开邻域内有

$$f_1(x) \le f(x) \le f_2(x).$$

如果 $f_1, f_2$ 在 $x_0$ 处的极限存在且等于 $A$，则 $f$ 在 $x_0$ 处的极限也等于 $A$.

/proof/ 证明过程参考数列极限.

命题3（极限的唯一性）：设 $A, B$ 均为 $f$ 在 $x_0$ 处的极限，则 $A = B$.

/proof/

利用不等式

$$0 \le |A - B| \le |f(x) - A| + |f(x) - B|$$

和夹逼原理即可

命题4（绝对值的极限）：设 $f$ 在 $x_0$ 处的极限为 $A$，则 $|f|$ 在 $x_0$ 处的极限为 $|A|$.

/proof/

利用不等式

$$0 \le ||f(x)| - |A|| \le |f(x) - A|$$

和夹逼原理即可

/example/ 证明

$$\lim_{x \to x_0} \sin x = \sin x_0, \quad \lim_{x \to x_0} \cos x = \cos x_0, \quad \forall\, x_0 \in \mathbb{R}.$$

(1) 任给 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = \varepsilon$，当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，有

$$\begin{aligned} |\sin x - \sin x_0| &= 2\left|\cos\frac{x + x_0}{2}\right|\left|\sin\frac{x - x_0}{2}\right|\\\\ &\leqslant 2\left|\frac{x - x_0}{2}\right| = |x - x_0| < \delta = \varepsilon. \end{aligned}$$

(2) 关于 $\cos x$ 的极限可象 (1) 一样证明，也可这样做：

$$\lim_{x \to x_0} \cos x = \lim_{x \to x_0} \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x_0\right) = \cos x_0.$$

我们再来看看个关于函数极限的例子

/example/ 设 $x_0 \geqslant 0$. 研究函数 $f(x) = \sqrt{x}$ 在 $x_0$ 处的极限.

/proof/

当 $x_0 = 0$ 时，任给 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = \varepsilon^2$，当 $0 < x < \delta$ 时，

$$|\sqrt{x} - 0| = \sqrt{x} < \sqrt{\delta} = \varepsilon,$$

因此

$$\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0.$$

当 $x_0 > 0$ 时，任给 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = \varepsilon\sqrt{x_0}$，当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，

$$|\sqrt{x} - \sqrt{x_0}| = \frac{|x - x_0|}{\sqrt{x} + \sqrt{x_0}} \leqslant \frac{|x - x_0|}{\sqrt{x_0}} < \frac{\delta}{\sqrt{x_0}} = \varepsilon,$$

因此

$$\lim_{x \to x_0} \sqrt{x} = \sqrt{x_0}.$$

· 无穷远处极限

定义2

设 $f$ 在 $x_0$ 的一个空心开邻域中有定义. 如果任给 $A > 0$，均存在 $\delta > 0$，当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，有 $f(x) > A$，则称 $f$ 在 $x_0$ 处的极限为 $+\infty$，记为

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty \quad \text{or} \quad f(x) \to +\infty \quad (x \to x_0).$$

如果任给 $A < 0$，均存在 $\delta > 0$，当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，有 $f(x) < A$，则称 $f$ 在 $x_0$ 处的极限为 $-\infty$，记为

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty \quad \text{or} \quad f(x) \to -\infty \quad (x \to x_0).$$

对于这种极限，夹逼原理和唯一性仍然成立. 我们也可以完全类似地给出 $f$ 在 $x_0$ 处的左极限或右极限为无穷大的定义，这里不再赘述. 有时，当我们说 $f$ 在 $x_0$ 处的极限为无穷大是指 $|f|$ 在 $x_0$ 处的极限为 $+\infty$.

定义3

设 $f$ 在 $+\infty$ 的一个开邻域 $(a, +\infty)$ 中有定义. 如果存在 $A \in \mathbb{R}$，使得对于任给的 $\varepsilon > 0$，存在 $M > a$，当 $x > M$ 时，有

$$|f(x) - A| < \varepsilon,$$

则称 $f$ 在 $+\infty$ 处有极限 $A$，记为

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = A \quad \text{or} \quad f(x) \to A \quad (x \to +\infty).$$

类似地，设 $f$ 在 $-\infty$ 的一个开邻域 $(-\infty, a)$ 中有定义. 如果存在 $A \in \mathbb{R}$，使得对于任给的 $\varepsilon > 0$，存在 $m < a$，当 $x < m$ 时，有

$$|f(x) - A| < \varepsilon,$$

则称 $f$ 在 $-\infty$ 处有极限 $A$，记为

$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = A \quad \text{or} \quad f(x) \to A \quad (x \to -\infty).$$

如果 $f$ 在 $-\infty$ 以及 $+\infty$ 处的极限均为 $A$，则称 $f$ 在 $\infty$（无穷远）处有极限 $A$，记为

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = A \quad \text{or} \quad f(x) \to A \quad (x \to \infty).$$

我们可以类似地给出 $f$ 在无穷远处极限为无穷大的定义，这里也不再赘述.

· 重要极限

(1). 研究函数 $\dfrac{\sin x}{x}$ 在 $x_0 = 0$ 处的极限

/proof/

先考虑 $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ 的情形.

作半径为 1 的圆（单位圆），$O$ 为圆心，$A, D$ 为圆周上的点，角 $\angle AOD$ 大小为 $x$，$DC, BA$ 均与 $OA$ 垂直，$B$ 在 $OD$ 的延长线上. 比较三角形 $\triangle OAD$、扇形 $OAD$ 以及三角形 $\triangle OAB$ 的面积大小，得：

$$\frac{1}{2} \sin x < \frac{1}{2} x < \frac{1}{2} \tan x,$$

即

$$\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1, \quad \forall\, x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right).$$

由于 $\cos x$ 和 $\dfrac{\sin x}{x}$ 为偶函数，故上式对 $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$ 也成立. 因此当 $0 < |x| < \dfrac{\pi}{2}$ 时，有

$$\left|\frac{\sin x}{x} - 1\right| < 1 - \cos x = 2\sin^2\frac{x}{2} \leqslant 2\left(\frac{x}{2}\right)^2 = \frac{x^2}{2}.$$

由夹逼原理得

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.$$

注意：当 $|x| \geqslant \dfrac{\pi}{2}$ 时，

$$|\sin x| \leqslant 1 < \frac{\pi}{2} \leqslant |x|,$$

因此我们得到下面的不等式：

$$|\sin x| \leqslant |x|, \quad \forall\, x \in \mathbb{R},$$

等号仅在 $x = 0$ 处成立.

(2). 研究函数 $\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x$ 在无穷远处的极限.

/proof/

当 $x \geqslant 1$ 时，

$$\left(1 + \frac{1}{[x]+1}\right)^{[x]+1} \leqslant \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x \leqslant \left(1 + \frac{1}{[x]}\right)^{[x]+1},$$

其中 $[x]$ 是不超过 $x$ 的最大整数. 因此

$$\left(1 + \frac{1}{[x]+1}\right)^{[x]+1} \left(1 + \frac{1}{[x]+1}\right)^{-1} \leqslant \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x \leqslant \left(1 + \frac{1}{[x]}\right)^{[x]} \left(1 + \frac{1}{[x]}\right).$$

利用数列极限

$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e,$$

以及夹逼原理得

$$\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e.$$

类似可证

$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e.$$

Part 2 性质

我们来讨论函数极限存在与否的判别方法和计算方法，主要以有限极限为例.

· Heine 定理

定理5 (Heine 定理)：设函数 $f$ 在 $x_0$ 的一个空心开邻域内有定义，则 $f$ 在 $x_0$ 处的极限为 $A$ 当且仅当对任何收敛点列 $x_n \to x_0$（$n \to \infty$）且 $x_n \ne x_0$（$\forall\, n$），均有

$$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = A.$$

先证必要性. 由定义，任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，有

$$|f(x) - A| < \varepsilon.$$

现在设 $x_n \to x_0,\ x_n \ne x_0$. 仍由极限定义，对于上述 $\delta$，存在 $N$，使得当 $n > N$ 时，

$$0 < |x_n - x_0| < \delta.$$

因此当 $n > N$ 时，有

$$|f(x_n) - A| < \varepsilon,$$

这说明

$$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = A.$$

我们用反证法来证明充分性. 如果 $f$ 在 $x_0$ 处极限不为 $A$（极限可能不存在），则存在 $\varepsilon_0 > 0$，使得对任何 $\delta > 0$，都存在 $x_\delta$，使得

$$0 < |x_\delta - x_0| < \delta,\quad |f(x_\delta) - A| \geqslant \varepsilon_0.$$

特别地，对 $\forall\, n \geqslant 1$，均存在 $x_n$，使得

$$0 < |x_n - x_0| < \frac{1}{n},\quad |f(x_n) - A| \geqslant \varepsilon_0.$$

这说明 $x_n \to x_0$，$x_n \ne x_0$，但 $f(x_n)$ 不收敛到 $A$.

(1) Heine 定理可以改述成下面应用起来较为方便的形式：

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = A \iff \forall\, x_n \to x_0\ (x_n \ne x_0),\ \lim_{n \to \infty} f(x_n)\ \text{存在}.$$

这时充分性的证明是这样的：只要说明如果 $f(x_n)$ 均收敛，则它们的极限必定都相同.

（反证法）如果存在 $x'_n \to x_0,\ x'_n \ne x_0,\ f(x'_n) \to A$ 以及 $x''_n \to x_0$，$x''_n \ne x_0$，$f(x''_n) \to B$.

当 $B \ne A$ 时，考虑新的点列 $x_n$，使得 $x_{2k} = x'_{2k}$，$x_{2k-1} = x''_{2k-1}$（$k\geqslant 1$），则 $x_n \to x_0$，$x_n \ne x_0$ 但 $f(x_n)$ 不收敛，这就得到矛盾.

(2) 对于单侧极限、无穷远处的极限以及极限为无穷大的情形，有完全类似的 Heine 定理.

/example/ 研究函数 $f(x) = \sin \dfrac{1}{x}$ 在 $x_0 = 0$ 处的极限.

我们选取点列 $x_n = \dfrac{1}{n\pi}$ 以及 $y_n = \dfrac{1}{2n\pi + \frac{\pi}{2}}$，则 $x_n, y_n \to 0$，$x_n, y_n \ne 0$，且

$$f(x_n) = \sin(n\pi) = 0,\quad f(y_n) = \sin\left(2n\pi + \frac{\pi}{2}\right) = 1.$$

根据刚才的注记就知道 $f$ 在 $x_0 = 0$ 的极限不存在.

· Cauchy 准则

定理6 (Cauchy 准则)：设 $f$ 在 $x_0$ 的一个空心开邻域中有定义，则 $f$ 在 $x_0$ 处存在有限极限当且仅当任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x' - x_0| < \delta$，$0 < |x'' - x_0| < \delta$ 时，有

$$|f(x') - f(x'')| < \varepsilon.$$

必要性：设 $f$ 在 $x_0$ 处的极限为 $A$，则任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，$|f(x) - A| < \dfrac{\varepsilon}{2}$. 因此，当 $0 < |x' - x_0| < \delta$，$0 < |x'' - x_0| < \delta$ 时，有

$$|f(x') - f(x'')| \leqslant |f(x') - A| + |f(x'') - A| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.$$

充分性：我们用 Heine 定理来证. 设 $x_n \to x_0$，$x_n \ne x_0$，则已知条件告诉我们 $\{f(x_n)\}$ 是一个 Cauchy 列，根据数列极限的 Cauchy 准则，$\{f(x_n)\}$ 收敛. 于是由 Heine 定理知 $f$ 在 $x_0$ 处的极限存在（且有限）.

(1) 对于无穷远处极限为有限的情形，Cauchy 准则仍然成立.

(2) 从证明过程可以看出，$f$ 在 $x_0$ 处不存在有限极限当且仅当存在 $\varepsilon_0 > 0$，使得对任意 $\delta > 0$，总有 $x', x''$，使得

$$0 < |x' - x_0| < \delta,\ 0 < |x'' - x_0| < \delta,\quad |f(x') - f(x'')| \geqslant \varepsilon_0.$$

/example/研究 Dirichlet 函数的极限.

$$D(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q}, \\\\ 0, & x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}, \end{cases}$$

在任何一点 $x_0$ 附近都有点取值为 0 或 1，取 $\varepsilon = 1$，由刚才的注记 (2) 即知 $D$ 在 $x_0$ 处极限不存在.

· 单调有界原理

定理7 (单调有界原理)：设函数在 $(x_0 - \delta, x_0)$ 中有定义，如果 $f$ 单调递增且有上界，或单调递减且有下界，则 $f$ 在 $x_0$ 的左极限存在（且有限）.

利用数列的单调性原理以及 Heine 定理即可.

如果$f$单调递增又无上界，则 $f$ 在 $x_0$ 处的左极限为 $+\infty$；如果 $f$ 单调递减又无下界，则 $f$ 在 $x_0$ 处的左极限为 $-\infty$；对于函数的右极限有完全类似的结论.

· 基本性质

下面我们叙述函数极限的一些基本性质，它们和数列极限相应的性质十分类似，因此我们省略其证明

定理8

(1) （局部有界性）如果$f$在$x_0$处有有限极限，则$f$在$x_0$的一个空心开邻域内有界.

(2) （保序性）设$f, g$在$x_0$处的极限分别为$A, B$. 如果$f(x) \geqslant g(x)$在$x_0$的一个空心开邻域内成立，则$A \geqslant B$；反之，如果$A > B$，则在$x_0$内一个空心开邻域内$f(x) > g(x)$；特别地，如果$A > 0$，则在$x_0$的一个空心开邻域内$f(x) > 0$.

(3) （四则运算）设$f, g$在$x_0$处有有限极限，则

• $\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to x_0} [\alpha f(x) + \beta g(x)] = \alpha \displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) + \beta \displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x)$，其中$\alpha, \beta$为常数；

• $\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x)g(x) = \displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) \cdot \displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x)$；

• $\displaystyle\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x)}{\displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x)}$，其中$\displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x) \ne 0$.

注：对于无穷远处的极限有完全类似的结论成立.

下面关于复合函数的极限也很有用

定理9 (复合函数的极限)：设$f(y)$在$y_0$处的极限为$A$，$g(x)$在$x_0$处的极限为$y_0$，且存在$x_0$的一个空心开邻域，在此开邻域内$g(x) \ne y_0$，则复合函数$f(g(x))$在$x_0$处的极限为$A$.

任给 $\varepsilon > 0$，由 $\displaystyle \displaystyle\lim_{y \to y_0} f(y) = A$ 知，存在 $\delta > 0$，当 $0 < |y - y_0| < \delta$ 时，有

$$|f(y) - A| < \varepsilon.$$

又因为 $g(x) \to y_0$（$x \to x_0$），对于这个 $\delta$，存在 $\eta > 0$，使得当 $0 < |x - x_0| < \eta$时，有

$$0 < |g(x) - y_0| < \delta,$$

此时有

$$|f(g(x)) - A| < \varepsilon,$$

这说明 $f(g(x))$ 在 $x_0$ 处的极限为 $A$.

(1) 定理中的条件 $g(x) \ne y_0$ 一般不能去掉，下面的函数就是例子：令

$$f(y) = \begin{cases} 1, & y \ne 0, \\\\ 0, & y = 0, \end{cases}$$

以及 $g(x) \equiv 0$，则 $\displaystyle \displaystyle\lim_{y \to 0} f(y) = 1$，但 $f(g(x)) = 0$. 不过，当 $f(y_0) = A$ 时这个条件是可以去掉的

(2) 对于无穷远处的极限以及极限为无穷大的情形也有完全类似的结果.

· 例题

我们再来计算一些函数极限的例子，有些例子在后面可能会用到

/example/ 研究函数 $(1 + x)^{\frac{1}{x}}$ 在 $x_0 = 0$ 处的极限.

作变量替换 $y = \dfrac{1}{x}$，则

$$(1 + x)^{\frac{1}{x}} = \left(1 + \frac{1}{y}\right)^y.$$

当 $x \to 0$ 时 $y \to \infty$，由复合函数的极限有

$$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{y \to \infty} \left(1 + \frac{1}{y}\right)^y = e.$$

/example/ 设 $P(x), Q(x)$ 是次数相同的多项式，求极限 $\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{P(x)}{Q(x)}$.

设 $P(x), Q(x)$ 次数为 $n$. 记

$$P(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n,\quad Q(x) = b_0 x^n + b_1 x^{n-1} + \cdots + b_n,$$

其中$a_0, b_0 \ne 0$. 由

$$\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{a_0 + a_1 x^{-1} + \cdots + a_n x^{-n}}{b_0 + b_1 x^{-1} + \cdots + b_n x^{-n}},$$

以及极限的四则运算性质可得

$$\lim_{x \to \infty} \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{a_0}{b_0}.$$

Part 3 量级关系

在对两个变量进行比较时，我们有时不需要知道它们的确切大小，而只需了解它们之间的量级关系. 我们现在可以用极限来刻画这些量级关系.

定义1（无穷小量与无穷大量）：如果函数 $f$ 在 $x_0$ 处的极限为 $0$，则称 $f$ 在 $x \to x_0$ 时为无穷小量，记为 $f(x) = o(1)$ $(x \to x_0)$；如果 $x \to x_0$ 时 $|f| \to +\infty$，则称 $f$ 在 $x \to x_0$ 时为无穷大量.

（1）无穷小（大）量不是一个数，而是在某点邻域内有特定性质的函数. 在无穷远处也可以类似定义无穷小量与无穷大量；

（2）对于数列也可以定义无穷小量与无穷大量：设 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 为两个数列，如果 $a_n / b_n \to 0$ $(n \to \infty)$，则称 $\{a_n\}$ 关于 $\{b_n\}$ 是无穷小量，记为 $a_n = o(b_n)$；无穷大量可类似定义.

/example/ 说明 $\sqrt{x+1} - 1 = o(1)$ $(x \to 0)$.

因为

$$\sqrt{x+1} - 1 = \frac{x}{\sqrt{x+1} + 1} \to 0 \quad (x \to 0),$$

故由定义知 $\sqrt{x+1} - 1$ 在 $x \to 0$ 时为无穷小量

我们可以利用无穷小量和无穷大量来比较函数. 例如，设 $f, g$ 在 $x \to x_0$ 时均为无穷小（大）量，则

(1). 如果 $f/g$ 在 $x \to x_0$ 时是无穷小量，则称当 $x \to x_0$ 时 $f$ 是 $g$ 的高（低）阶无穷小（大）量，记为

$$f(x) = o(g(x)) \quad (x \to x_0);$$

(2). 如果 $f/g$ 在 $x_0$ 的一个空心邻域中有界，则记

$$f(x) = O(g(x)) \quad (x \to x_0);$$

(3). 如果 $f/g$ 在 $x_0$ 处的极限为 $A \ne 0$，则称当 $x \to x_0$ 时 $f$ 和 $g$ 是同阶无穷小（大）量，记为

$$f(x) = O^*(g(x)) \quad (x \to x_0);$$

特别地，如果 $A = 1$，则称当 $x \to x_0$ 时 $f$ 和 $g$ 是等价无穷小（大）量，记为

$$f \sim g \quad (x \to x_0).$$

(4). 设 $k > 0$. 如果

$$|f(x)| = O^*(|x - x_0|^k) \quad (x \to x_0),$$

则称当 $x \to x_0$ 时 $f$ 是 $k$ 阶无穷小量；如果

$$|f(x)| = O^*(|x - x_0|^{-k}) \quad (x \to x_0),$$

则称当 $x \to x_0$ 时 $f$ 是 $k$ 阶无穷大量. $k$ 为正整数时也可将定义中的绝对值去掉.

这些量级的比较也可在无穷远处进行.

/example/ 证明 $1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$ $(x \to 0)$

根据前面的结果，有

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 \frac{1}{2}x}{x^2} = 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}.$$

下面的定理在计算极限的时候十分有用.

定理（等价代换）. 设 $x \to x_0$ 时，$f \sim f_1$，$g \sim g_1$. 如果 $f_1/g_1$ 在 $x_0$ 处有极限，则 $f/g$ 在 $x_0$ 处有极限，且极限相等；反之亦然.

只要注意到

$$f/g = (f/f_1)(f_1/g_1)(g_1/g),$$

以及当 $x \to x_0$ 时 $f/f_1 \to 1$，$g/g_1 \to 1$ 即可

等价代换在无穷远处也可进行

/example/ 求极限 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin \alpha x}{\sin \beta x}$

因为当 $x \to 0$ 时 $\sin \alpha x \sim \alpha x$，$\sin \beta x \sim \beta x$，故

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin \alpha x}{\sin \beta x} = \lim_{x \to 0} \frac{\alpha x}{\beta x} = \frac{\alpha}{\beta}.$$

/example/ 求极限 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$.

当 $x \to 0$ 时，

$$\tan x - \sin x = \frac{\sin x}{\cos x}(1 - \cos x) \sim x\left(\frac{1}{2}x^2\right) = \frac{1}{2}x^3,$$

故

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \frac{1}{2}.$$

需要注意的是，等价代换不能用于加法和减法运算. 例如在上面的例子中，当 $x \to 0$ 时，有

$$\tan x \sim \sin x \sim x,$$

但 $\tan x - \sin x$ 不能替换为零

/example/ 求极限 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\ln \cos x}{\tan^2 x}$

先来说明

$$\ln(1 + x) \sim x \quad (x \to 0).$$

事实上有

$$\frac{\ln(1 + x)}{x} = \ln[(1 + x)^{1/x}] \to \ln e = 1 \quad (x \to 0).$$

于是，当 $x \to 0$ 时，有

$$\ln \cos x = \ln[1 - (1 - \cos x)] \sim -(1 - \cos x) \sim -\frac{1}{2}x^2.$$

另一方面

$$\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \sim x^2 \quad (x \to 0),$$

利用等价代换得

$$\lim_{x \to 0} \frac{\ln \cos x}{\tan^2 x} = -\frac{1}{2}.$$

结束.

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2025/12/17 03:52

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