Part 1 连续函数

· 定义

连续变化的量用数学的语言来刻画就是连续函数。

定义1（连续性）：如果 $f$ 在 $x_0$ 的一个邻域中有定义且 $f$ 在 $x_0$ 处的极限等于 $f(x_0)$，则称 $f$ 在 $x_0$ 处连续，$x_0$ 称为 $f$ 的一个连续点；如果 $f$ 在 $x_0$ 处的左极限等于 $f(x_0)$，则称 $f$ 在 $x_0$ 处左连续；如果 $f$ 在 $x_0$ 处的右极限等于 $f(x_0)$，则称 $f$ 在 $x_0$ 处右连续；在定义域内每一点都连续的函数称为连续函数。

(1) 如果 $x_0$ 不是 $f$ 的连续点，则称 $x_0$ 是 $f$ 的一个间断点。显然，$f$ 在 $x_0$ 处连续当且仅当 $f$ 在 $x_0$ 处左连续和右连续。我们还可以用 Heine 定理来描述连续性：$f$ 在 $x_0$ 处连续当且仅当对任意收敛到 $x_0$ 的点列 $x_n$，均有 $f(x_n) \to f(x_0)$ ($n \to \infty$)。

(2) 用 $\varepsilon - \delta$ 的语言来描述 $f$ 在 $x_0$ 处连续就是：任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $|x - x_0| < \delta$ 时，有

$$|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon.$$

(3)* 上半连续和下半连续：如果任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $|x - x_0| < \delta$ 时，有

$$f(x) > f(x_0) - \varepsilon,$$

则称 $f$ 在 $x_0$ 处下半连续；如果任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $|x - x_0| < \delta$ 时，有

$$f(x) < f(x_0) + \varepsilon,$$

则称 $f$ 在 $x_0$ 处上半连续。

(4) 连续点和连续性的概念可以推广到在 $\mathbb{R}$ 的子集 $X$ 上定义的函数 $f: X \to \mathbb{R}$ 上：$x_0 \in X$ 为 $f$ 的连续点是指当 $x \in X$，$x \to x_0$ 时 $f(x) \to f(x_0)$。因此，当 $X = [a,b]$ 时，$f$ 为 $[a,b]$ 上的连续函数是指 $f$ 在 $(a,b)$ 中每一点都连续，且在 $a$ 处右连续，在 $b$ 处左连续。

下面给出几个例子：

根据前面两节的计算，我们已经知道下面的初等函数都是连续的：

$$C ,\ x,\ \sin x,\ \cos x,\ \sqrt{x},\ \log_a x\ (a > 0, a \ne 1).$$

如果 $f$ 为连续函数，则 $|f|$ 也是连续函数

设 $f$ 在 $x_0$ 处连续，则由

$$0 \le ||f(x)| - |f(x_0)|| \le |f(x) - f(x_0)|$$

以及夹逼原理知 $|f(x)|$ 在 $x_0$ 处连续

研究函数 $f(x) = \frac{1}{x}\ (x \ne 0)$ 的连续性

设 $x_0 > 0$。任给 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = \min\left\{\frac{1}{2}x_0, \frac{1}{2}x_0^2\varepsilon\right\}$，当 $|x - x_0| < \delta$ 时

$$\left|\frac{1}{x} - \frac{1}{x_0}\right| = \frac{|x - x_0|}{|x x_0|} \le \frac{2|x - x_0|}{x_0^2} < \varepsilon,$$

因此 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续。完全类似地可证明，当 $x_0 < 0$ 时，$f$ 在 $x_0$ 处也连续。因此 $\frac{1}{x}$ 为连续函数

研究函数 $f(x) = a^x\ (a > 0)$ 的连续性

$a = 1$ 时 $f(x) = 1$ 为常值函数，因此是连续函数。设 $a \ne 1$，$x_0 \in \mathbb{R}$，则

$$\lim_{x \to x_0} a^x = \lim_{x \to x_0} a^{x_0} a^{x - x_0} = a^{x_0} \lim_{y \to 0} a^y = a^{x_0}.$$

因此 $f(x)$ 为连续函数

利用下面的两个定理可以得到连续函数的更多例子

定理1（连续函数的四则运算）．设 $f(x), g(x)$ 都在 $x_0$ 处连续，则

(1) $\alpha f(x) + \beta g(x)$ 在 $x_0$ 处连续，其中 $\alpha, \beta$ 为常数；

(2) $f(x)g(x)$ 在 $x_0$ 处连续；

(3) 当 $g(x_0) \ne 0$ 时，$f(x)/g(x)$ 在 $x_0$ 处连续。

由函数极限的四则运算性质即可得到

定理2（复合函数的连续性）．设函数 $f(y)$ 在 $y_0$ 处连续，函数 $g(x)$ 在 $x_0$ 处的极限为 $y_0$，则有

$$\lim_{x \to x_0} f(g(x)) = f\left(\lim_{x \to x_0} g(x)\right) = f(y_0),$$

特别地，当 $g$ 在 $x_0$ 处连续时，复合函数 $f(g(x))$ 在 $x_0$ 处也连续。

/proof/

因为函数 $f(y)$ 在 $y_0$ 处连续，故任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $|y - y_0| < \delta$ 时，

$$|f(y) - f(y_0)| < \varepsilon.$$

对于这个 $\delta$，因为 $g(x) \to y_0\ (x \to x_0)$，故存在 $\eta > 0$，使得当 $0 < |x - x_0| < \eta$ 时，

$$|g(x) - y_0| < \delta,$$

从而

$$|f(g(x)) - f(y_0)| < \varepsilon,$$

即

$$f(g(x)) \to f(y_0) = f\left(\lim_{x \to x_0} g(x)\right).$$

下面再给出一些例子：

如果 $f, g$ 为连续函数，则 $\max\{f,g\}$ 和 $\min\{f,g\}$ 均为连续函数

当 $f, g$ 连续时，$f + g$, $f - g$ 均连续。并且可以直接验证

$$\begin{aligned} \max\{f,g\} &= \frac{1}{2}\{(f + g) + |f - g|\},\\\\ \min\{f,g\} &= \frac{1}{2}\{(f + g) - |f - g|\}. \end{aligned}$$

于是 $\max\{f,g\}$ 和 $\min\{f,g\}$ 均为连续函数

有理函数的连续性

因为 $f(x) = x$ 为连续函数，因此 $x^2 = x \cdot x$, $x^3 = x \cdot x \cdot x, \cdots, x^n\ (n \ge 1)$ 都是连续函数；同理，因为 $f(x) = x^{-1}$ 连续，因此 $x^n\ (n \le -1)$ 也是连续函数。

进一步，有理函数（即两个多项式之商）在定义域内均为连续函数

三角函数的连续性

因为 $\sin x, \cos x$ 为连续函数，故三角函数

$$\csc x = \frac{1}{\sin x},\ \sec x = \frac{1}{\cos x},\ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x},\ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$$

在定义域内均为连续函数

设 $\alpha \ne 0$，研究幂函数 $f(x) = x^\alpha$ 的连续性

设 $\alpha > 0$。先来说明 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处是连续的。事实上，任给 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = \varepsilon^{1/\alpha}$，当 $|x| < \delta$ 时

$$|x^\alpha - 0| = (|x|)^\alpha \le (\varepsilon^{1/\alpha})^\alpha = \varepsilon.$$

因此 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续。

如果 $x > 0$，则 $x^\alpha = e^{\alpha \ln x}$，根据复合函数的连续性，我们知道 $f(x)$ 连续；如果 $x < 0$，则 $x^\alpha = (-1)^\alpha e^{\alpha \ln |x|}$，仍由复合函数的连续性知 $f(x)$ 连续。

如果 $\alpha < 0$，则

$$x^\alpha = \left(\frac{1}{x}\right)^{-\alpha},$$

因此当 $x \ne 0$ 时函数是连续的。总之，在定义域内，幂函数是连续的

· 间断点

单调函数和可逆函数之间有很密切的联系，我们先来研究单调函数的连续性

定义2：设 $x_0$ 为 $f(x)$ 的一个间断点。如果 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左极限 $f(x_0 - 0)$ 和右极限 $f(x_0 + 0)$ 都存在且有限，则称 $x_0$ 为第一类间断点；其它的间断点都称为第二类间断点。左极限和右极限不相等的第一类间断点称为跳跃间断点；左极限和右极限相等的第一类间断点称为可去间断点。

/example/

研究单调函数 $f(x) = [x]$ 的连续性，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数

当 $k \le x < k + 1$ ($k$ 为整数) 时，$[x] = k$。因此，当 $x$ 不是整数时，$f(x)$ 在 $x$ 处连续。当 $x = k$ 为整数时，$f(x)$ 在 $k$ 处的左极限为 $k - 1$，右极限为 $k$。这说明 $f(x)$ 的间断点恰为所有的整数点。$\square$

根据定义，函数 $f(x) = [x]$ 的间断点都是跳跃间断点。

下面的结果说明单调函数在定义域内部的间断点都是跳跃间断点。

命题3．设 $f(x)$ 是区间 $(a,b)$ 中的单调函数，$x_0 \in (a,b)$。如果 $x_0$ 为 $f(x)$ 的间断点，则 $x_0$ 是跳跃间断点。

/proof/

由单调性知 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左极限和右极限都存在且有限，当 $f$ 单调递增时，有

$$f(x_0 - 0) \le f(x_0) \le f(x_0 + 0),$$

当 $f$ 单调递减时，有

$$f(x_0 - 0) \ge f(x_0) \ge f(x_0 + 0).$$

因此，如果 $x_0$ 为 $f(x)$ 的间断点，则 $x_0$ 必为跳跃间断点

命题4：设 $f(x)$ 是定义在区间 $I$ 中的单调函数，则 $f(x)$ 的间断点为至多可数多个

/proof/

不妨设 $f(x)$ 单调递增，且 $I$ 为开区间。假设 $x_1 < x_2$ 为间断点，则

$$f(x_1 - 0) \le f(x_1) \le f(x_1 + 0) \le f(x_2 - 0) \le f(x_2) \le f(x_2 + 0).$$

因此，区间 $(f(x_1 - 0), f(x_1 + 0))$ 和 $(f(x_2 - 0), f(x_2 + 0))$ 不相交。如果我们把每一个间断点 $x$ 均对应到开区间 $(f(x - 0), f(x + 0))$，则这些开区间互不相交。这样的开区间只有至多可数多个，因此 $f(x)$ 的间断点也至多可数

命题5：设 $f(x)$ 是定义在区间 $I$ 中的严格单调函数，则 $f(x)$ 连续当且仅当 $f(I)$ 也是区间

不妨设 $f(x)$ 严格单调递增。如果 $f(I)$ 为区间，则 $f(x)$ 没有间断点，这是因为间断点 $x_0$ 对应的区间 $(f(x_0 - 0), f(x_0 + 0))$ 不在值域内，从而会分割值域。即值域为区间时 $f$ 是连续的。

如果 $f$ 连续，则由介值定理知 $f(I)$ 为区间

推论6．定义在区间 $I$ 中的严格单调连续函数 $f(x)$ 一定是可逆的，且其逆也是严格单调连续的

不妨设 $f(x)$ 严格单调递增。由上一命题知 $f(I) = J$ 是区间。因为映射 $f: I \to J$ 是一一映射，故它是可逆的。设 $y_1 < y_2 \in J$，记 $x_1 = f^{-1}(y_1)$, $x_2 = f^{-1}(y_2)$。如果 $x_1 \ge x_2$，则因为 $f$ 单调递增，故 $y_1 = f(x_1) \ge f(x_2) = y_2$，这就得到矛盾。这说明

$$x_1 = f^{-1}(y_1) < x_2 = f^{-1}(y_2),$$

因此 $f^{-1}$ 是 $J$ 上的严格单调递增函数。因为 $f^{-1}(J) = I$ 为区间，由上一命题即知 $f^{-1}$ 连续。

注意．利用介值定理可以证明，区间上的连续函数可逆当且仅当它是严格单调的。

定理7．初等函数在其定义域内均为连续函数

我们已经证明了常值函数、三角函数、幂函数、指数函数与对数函数在其定义域内是连续的。根据上面的推论，反三角函数在其定义域内也是连续的。这些基本初等函数在四则运算以及复合之下也都是连续函数

利用初等函数的连续性，求函数极限的时候通常就可以直接代入定义域内的变量值来计算

Part 2 闭区间连续函数

函数的性质密切依赖于实数系的基本性质

· 介值定理

定理1 (有界性定理). 设 $f(x)$ 为闭区间 $[a,b]$ 上的连续函数, 则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界.

/proof/

证法一: 用反证法. 假设 $f(x)$ 无界, 则存在点列 $\{x_n\} \subset [a,b]$, 使得

$$|f(x_n)| \geq n,\quad n = 1,2,\cdots.$$

因为 $\{x_n\}$ 为有界点列, 故存在收敛子列 $\{x_{n_i}\}$, 使得

$$\lim_{i \to \infty} x_{n_i} = x_0 \in [a,b].$$

又因为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续, 故

$$\lim_{i \to \infty} f(x_{n_i}) = f(x_0).$$

特别地, $\{f(x_{n_i})\}$ 是有界点列, 这和 $|f(x_{n_i})| \geq n_i\ (\forall\ i \geq 1)$ 相矛盾.

证法二: 任取 $x \in [a,b]$, 因为 $f$ 在 $x$ 处连续, 故存在 $\delta_x > 0$, 使得

$$|f(x') - f(x)| \leq 1,\quad \forall\ x' \in (x - \delta_x, x + \delta_x) \cap [a,b].$$

区间族 $\{(x - \delta_x, x + \delta_x)\}_{x \in [a,b]}$ 组成了闭区间 $[a,b]$ 的一个开覆盖, 因此存在有限子覆盖, 记为

$$\{(x_i - \delta_{x_i}, x_i + \delta_{x_i})\},\ i = 1,2,\ldots,k.$$

令 $M = \max\limits_{1 \leq i \leq k} \{|f(x_i)| + 1\}$. 任取 $x \in [a,b]$, 设 $x \in (x_i - \delta_{x_i}, x_i + \delta_{x_i})$, 则

$$|f(x)| \leq |f(x) - f(x_i)| + |f(x_i)| \leq 1 + |f(x_i)| \leq M,$$

这说明 $f(x)$ 是有界的. $\square$

闭区间的条件不能减弱, 例如函数 $f(x) = \dfrac{1}{x}$ 在 $(0,1]$ 上连续, 但无界.

定理2 (最值定理). 设 $f(x)$ 为闭区间 $[a,b]$ 上的连续函数, 则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上必取到最大值和最小值, 即存在 $x_*, x^* \in [a,b]$, 使得

$$f(x_*) \leq f(x) \leq f(x^*),\quad \forall\ x \in [a,b].$$

/proof/

证法一: 根据有界性定理, $f(x)$ 有界, 因此 $f([a,b])$ 必有上确界和下确界. 记上确界为 $M$, 则存在点列 $\{x_n\} \subset [a,b]$, 使得

$$M - \frac{1}{n} \leq f(x_n) \leq M.$$

根据夹逼原理, $f(x_n) \to M\ (n \to \infty)$. 因为 $\{x_n\}$ 为有界点列, 故存在收敛子列 $\{x_{n_i}\}$, 使得

$$\lim_{i \to \infty} x_{n_i} = x^* \in [a,b].$$

因为 $f(x)$ 在 $x^*$ 处连续, 故 $f(x_{n_i}) \to f(x^*)\ (i \to \infty)$. 这说明 $M = f(x^*)$, $M$ 即为 $f(x)$ 的最大值. 同理可证最小值可以取到, 或考虑 $-f$ 的最大值即可.

证法二: 用反证法. 设 $M$ 为 $f$ 的上确界, 但 $f(x) \neq M,\ \forall\ x \in [a,b]$. 考虑函数

$$F(x) = \frac{1}{M - f(x)},\quad x \in [a,b].$$

$F(x)$ 是 $[a,b]$ 上的正的连续函数. 由有界性定理, 存在正数 $K > 0$, 使得 $F(x) \leq K$. 从而

$$f(x) \leq M - \frac{1}{K},\quad \forall\ x \in [a,b].$$

这与 $M$ 为 $f$ 的上确界相矛盾, 因此 $M$ 必被 $f(x)$ 取到. 下确界的情形同理可证. $\square$

注意. 闭区间的条件不能减弱, 如 $f(x) = x,\ x \in (0,1]$ 是连续的, 但在 $(0,1]$ 上达不到最小值.

定理3 (零值定理, Bolzano). 设 $f(x)$ 为闭区间 $[a,b]$ 上的连续函数, 且 $f(a)f(b) < 0$, 则存在 $\xi \in (a,b)$, 使得 $f(\xi) = 0$.

证法一: 用闭区间套原理. 不妨设 $f(a) < 0,\ f(b) > 0$.

(反证法) 假设 $f(x) \neq 0,\ \forall\ x \in (a,b)$. 将 $[a,b]$ 二等分, 如果 $f\left(\dfrac{a+b}{2}\right) > 0$, 则取 $a_1 = a,\ b_1 = \dfrac{a+b}{2}$; 如果 $f\left(\dfrac{a+b}{2}\right) < 0$, 则取 $a_1 = \dfrac{a+b}{2},\ b_1 = b$,

总之 $f(a_1) < 0,\ f(b_1) > 0$. 再将 $[a_1,b_1]$ 二等分, 用 $[a_2,b_2]$ 表示满足 $f(a_2) < 0,\ f(b_2) > 0$ 的那一半小区间. 如此继续, 我们得到闭区间套

$$[a_1,b_1] \supset [a_2,b_2] \supset \cdots \supset [a_n,b_n] \supset \cdots,$$

满足 $f(a_n) < 0,\ f(b_n) > 0$, 且

$$b_n - a_n = \frac{b-a}{2^n} \to 0,\quad n \to \infty.$$

由闭区间套原理, 存在 $x_0 \in [a,b]$, 使得

$$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = x_0.$$

根据 $f$ 的连续性, 有

$$0 \geq \lim_{n \to \infty} f(a_n) = f(x_0) = \lim_{n \to \infty} f(b_n) \geq 0,$$

从而 $f(x_0) = 0$. 显然 $x_0 \neq a,b$, 这就导出了矛盾.

证法二: 不妨设 $f(a) < 0,\ f(b) > 0$. 令

$$A = \{x \in [a,b]\mid f(x) < 0\},$$

则 $a \in A$. 记 $\xi$ 为 $A$ 的上确界, 由 $f$ 的连续性易见 $\xi > a$. 由确界的定义, 存在 $x_n \in [a,b]$, 使得 $f(x_n) < 0,\ x_n \to \xi$, 因此

$$f(\xi) = \lim_{n \to \infty} f(x_n) \leq 0,$$

特别地, $\xi < b$. 由 $A$ 的定义知 $f$ 在 $(\xi,b]$ 上非负, 由 $f$ 的连续性知 $f(\xi) \geq 0$, 这说明 $f(\xi) = 0$. 显然 $\xi \in (a,b)$.

注意. 如果条件改为 $f(a)f(b) \leq 0$, 则存在 $\xi \in [a,b]$, 使得 $f(\xi) = 0$. 事实上, 如果 $f(a)f(b) = 0$, 则 $f(a) = 0$ 或 $f(b) = 0$, 从而取 $\xi = a$ 或 $\xi = b$ 即可; 当 $f(a)f(b) < 0$ 时用零值定理的结论即可

定理4 (介值定理). 设 $f(x)$ 为 $[a,b]$ 上的连续函数, $\mu$ 是严格介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的数, 则存在 $\xi \in (a,b)$, 使得 $f(\xi) = \mu$.

/proof/

设 $\mu$ 是严格介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的数, 则 $(f(a) - \mu)(f(b) - \mu) < 0$. 因此, 由零值定理, 连续函数 $f(x) - \mu$ 在 $(a,b)$ 内存在零点 $\xi$, 即 $f(\xi) = \mu$.

推论5. 设 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的连续函数, 则 $f([a,b]) = [m,M]$, 其中 $m$, $M$ 分别是 $f$ 在 $[a,b]$ 上的最小值和最大值.

当 $m = M$ 时 $f(x)$ 为常值函数, 结论自然成立.

设 $m < M$. 显然, $f([a,b]) \subset [m,M]$. 另一方面, 由最值定理, 存在 $x_*, x^*$, 使得 $f(x_*) = m,\ f(x^*) = M$.

由介值定理, 介于 $m$ 和 $M$ 之间的值也能被 $f(x)$ 取到, 因此 $[m,M] \subset f([a,b])$. 这说明 $f([a,b]) = [m,M]$.

推论6. 设 $f(x)$ 是区间 $I$ 中的连续函数, 则 $f(I)$ 也是区间 (可退化为一点).

如果 $f(x)$ 为常值函数, 则 $f(I)$ 退化为一点. 否则, 任取 $y_1 < y_2 \in f(I)$, 设 $f(x_1) = y_1,\ f(x_2) = y_2$, 在以 $x_1,\ x_2$ 为端点的闭区间上用介值定理, 我们就知道 $[y_1,y_2] \subset f(I)$. 由 $y_1,\ y_2$ 的任意性知 $f(I)$ 为一个区间.

推论7. 设 $f(x)$ 是区间 $I$ 中的连续函数, 则 $f(x)$ 可逆当且当 $f(x)$ 是严格单调函数.

只要证明必要性就可以了. 设 $x_1 < x_2 \in I$. 因为 $f(x)$ 可逆, 故 $f(x_1) \neq f(x_2)$. 如果 $f(x_1) < f(x_2)$, 我们将证明 $f(x)$ 在 $[x_1,x_2]$ 上是严格单调递增的. (反证法) 设 $x' < x'' \in [x_1,x_2],\ f(x') \geq f(x'')$. 分情况讨论:

(1) $f(x'') < f(x_1)$. 这时 $f(x'') < f(x_1) < f(x_2)$, 由介值定理, 存在 $\xi \in [x'',x_2]$, 使得 $f(\xi) = f(x_1)$, 这与 $f(x)$ 可逆相矛盾;

(2) $f(x'') > f(x_1)$. 这时 $f(x') \geq f(x'') > f(x_1)$, 由介值定理, 存在 $\xi \in [x_1,x']$, 使得 $f(\xi) = f(x'')$, 这与 $f(x)$ 可逆相矛盾.

如果 $f(x_1) > f(x_2)$, 完全类似地可以证明 $f(x)$ 在 $[x_1,x_2]$ 上是严格单调递减的. 总之, $f(x)$ 在任何闭区间上都是严格单调的, 从而不难得出 $f(x)$ 在 $I$ 中是严格单调的.

· 一致连续

定义1 (一致连续). 设函数 $f(x)$ 定义在区间 $I$ 中, 如果任给 $\varepsilon > 0$, 均存在 $\delta = \delta(\varepsilon) > 0$, 使得当 $x_1,x_2 \in I$, 且 $|x_1 - x_2| < \delta$ 时有

$$|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon,$$

则称 $f(x)$ 在 $I$ 中一致连续.

(1) 显然, 一致连续函数一定是连续函数. 一致连续性和连续性的区别就是, 用 $\varepsilon-\delta$ 语言定义 $x_0$ 处的连续性时, 定义中出现的 $\delta$ 一般会依赖于连续点 $x_0$ 以及 $\varepsilon$, 而一致连续性定义中出现的 $\delta$ 是不依赖于具体连续点的, 即对所有的连续点都能取到一个公共的 $\delta$, 一致性就体现在这儿.

(2) 用逆反命题的形式改写定义, 就得到: $f(x)$ 在 $I$ 中不一致连续当且仅当存在 $\varepsilon_0 > 0$, 以及 $I$ 中点列 $\{a_n\}, \{b_n\}$, 使得 $a_n - b_n \to 0\ (n \to \infty)$, 且

$$|f(a_n) - f(b_n)| \geq \varepsilon_0.$$

/example/ 研究函数 $f(x) = \sin x,\ x \in \mathbb{R}$ 的一致连续性.

任给 $\varepsilon > 0$, 取 $\delta = \varepsilon$. 当 $x_1,x_2 \in \mathbb{R}$, 且 $|x_1 - x_2| < \delta$ 时, 有

$$\begin{aligned} |\sin x_1 - \sin x_2| &= \left|2\sin\frac{x_1 - x_2}{2}\cos\frac{x_1 + x_2}{2}\right| \\\\ &\leq 2\left|\sin\frac{x_1 - x_2}{2}\right| \\\\ &\leq |x_1 - x_2| < \varepsilon. \end{aligned}$$

这说明 $\sin x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 中是一致连续的.

$\sin x$ 是所谓 Lipschitz 函数的特殊情形.

设 $f(x)$ 是定义在区间 $I$ 中的函数. 如果存在 $0 < \alpha \leq 1$, 以及常数 $M$, 使得

$$|f(x_1) - f(x_2)| \leq M|x_1 - x_2|^\alpha,\quad \forall\ x_1,x_2 \in I,$$

则称 $f(x)$ 是 $I$ 中的 $\alpha$ 阶 Hölder 函数. 当 $\alpha = 1$ 时也称为 Lipschitz 函数.

Hölder 函数都是一致连续的: 任给 $\varepsilon > 0$, 取

$$\delta = \left(\frac{\varepsilon}{M}\right)^{\frac{1}{\alpha}},$$

则当 $x_1,x_2 \in I,\ |x_1 - x_2| < \delta$ 时, 有

$$|f(x_1) - f(x_2)| \leq M|x_1 - x_2|^\alpha < M\left(\frac{\varepsilon}{M}\right) = \varepsilon.$$

命题8. 设 $f(x), g(x)$ 为区间 $I$ 中的一致连续函数. 则

(1) $\alpha f(x) + \beta g(x)$ 在 $I$ 中也是一致连续的;

(2) 如果 $f(x), g(x)$ 为有界函数, 则 $f(x)g(x)$ 也是一致连续的;

(3) 如果 $f(x)$ 有界, 且存在 $\varepsilon_0 > 0$, 使得 $g(x) \geq \varepsilon_0,\ \forall\ x \in I$, 则 $f(x)/g(x)$ 也是一致连续的;

(4) 一致连续函数的复合函数仍为一致连续函数.

定理9 (Cantor). 闭区间上的连续函数是一致连续的.

/proof/

设 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的连续函数.

证法一: (反证法) 如果 $f(x)$ 不是一致连续的, 则存在 $\varepsilon_0 > 0$, 以及点列 $\{a_n\}, \{b_n\} \subset [a,b]$, 使得 $a_n - b_n \to 0\ (n \to \infty)$, 且

$$|f(a_n) - f(b_n)| \geq \varepsilon_0.$$

因为 $\{b_n\}$ 为有界点列, 故存在收敛子列 $\{b_{n_i}\}$, 设 $b_{n_i} \to x_0 \in [a,b]$. 此时

$$a_{n_i} = (a_{n_i} - b_{n_i}) + b_{n_i} \to 0 + x_0 = x_0\quad (i \to \infty).$$

因为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续, 故

$$\varepsilon_0 \leq |f(a_{n_i}) - f(b_{n_i})| \to |f(x_0) - f(x_0)| = 0\quad (i \to \infty),$$

这就导出了矛盾.

证法二: 任给 $\varepsilon > 0$, 因为 $f(x)$ 连续, 故对于任意 $x \in [a,b]$, 存在 $\delta_x > 0$, 使得

$$|f(x') - f(x)| < \frac{\varepsilon}{2},\quad \forall\ x' \in (x - \delta_x, x + \delta_x) \cap [a,b].$$

显然, $\left\{(x - \frac{\delta_x}{2}, x + \frac{\delta_x}{2})\right\}_{x \in [a,b]}$ 为闭区间 $[a,b]$ 的一个开覆盖, 因而存在有限子覆盖, 即存在 $x_i\ (1 \leq i \leq k)$, 使得

$$[a,b] \subset \bigcup_{i=1}^k \left(x_i - \frac{\delta_{x_i}}{2}, x_i + \frac{\delta_{x_i}}{2}\right).$$

记

$$\delta = \min\left\{\frac{\delta_{x_i}}{2} \mid i = 1,2,\ldots,k\right\},$$

则对于任意的 $x',x'' \in [a,b]$, 如果 $|x' - x''| < \delta$, 设

$$x' \in \left(x_i - \frac{\delta_{x_i}}{2}, x_i + \frac{\delta_{x_i}}{2}\right),\ \text{(对某个 } i\text{)},$$

则

$$|x'' - x_i| \leq |x'' - x'| + |x' - x_i| < \delta + \frac{\delta_{x_i}}{2} \leq \delta_{x_i},$$

从而有 $x'' \in (x_i - \delta_{x_i}, x_i + \delta_{x_i})$. 因此, 我们有

$$|f(x') - f(x'')| \leq |f(x') - f(x_i)| + |f(x_i) - f(x'')| \leq 2\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon,$$

这说明 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是一致连续的.

最后引出函数振幅的概念, 并利用它来刻画连续性和一致连续性. 某个变化量的振幅, 是指其“最大”和“最小”值的差. 如果这个变化量的值趋于一个定数, 则其振幅应趋于零.

定义2 (振幅). 设 $f(x)$ 在 $x_0$ 的一个开邻域内有定义, 称

$$\omega_f(x_0,r) = \sup\left\{|f(x') - f(x'')| \mid x',x'' \in (x_0 - r, x_0 + r)\right\}\quad (r > 0)$$

为 $f$ 在区间 $(x_0 - r, x_0 + r)$ 上的振幅. 显然, $\omega_f(x_0,r)$ 关于 $r \to 0^+$ 单调递减, 因此

$$\omega_f(x_0) = \lim_{r \to 0^+} \omega_f(x_0,r)$$

存在 (不一定有限), 称为 $f$ 在 $x_0$ 处的振幅.

(1) $\omega_f(x_0,r)$ 也可以定义为

$$\omega_f(x_0,r) = \sup_{x \in (x_0 - r, x_0 + r)} f(x) - \inf_{x \in (x_0 - r, x_0 + r)} f(x),$$

(2) 也可类似地对闭区间以及 $x_0$ 的一侧定义函数的振幅.

命题10. $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续当且仅当 $\omega_f(x_0) = 0$.

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续. 任给 $\varepsilon > 0$, 存在 $\delta > 0$, 当 $|x - x_0| < \delta$ 时

$$|f(x) - f(x_0)| < \frac{\varepsilon}{2}.$$

因此, 对于 $\forall\ x',x'' \in (x_0 - r, x_0 + r)\ (0 < r \leq \delta)$, 有

$$|f(x') - f(x'')| \leq |f(x') - f(x_0)| + |f(x_0) - f(x'')| < 2\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.$$

即当 $0 < r \leq \delta$ 时

$$\omega_f(x_0,r) \leq \varepsilon.$$

这说明 $\omega_f(x_0) = \displaystyle\lim_{r \to 0^+} \omega_f(x_0,r) = 0$.

反之, 设 $\displaystyle\lim_{r \to 0^+} \omega_f(x_0,r) = \omega_f(x_0) = 0$, 则任给 $\varepsilon > 0$, 存在 $\delta > 0$, 使得

$$\omega_f(x_0,r) < \varepsilon,\quad \forall\ 0 < r \leq \delta.$$

特别地, 对于满足 $|x - x_0| < \delta$ 的点 $x$, 有

$$|f(x) - f(x_0)| \leq \omega_f(x_0,\delta) < \varepsilon,$$

这说明 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续.

我们可以类似地用振幅来刻画一致连续性. 设 $f$ 定义在区间 $I$ 中, $r > 0$. 令

$$\omega_f(r) = \sup\left\{|f(x') - f(x'')| \mid \forall\ x',x'' \in I,\ |x' - x''| < r\right\},$$

则 $\omega_f(r)$ 关于 $r \to 0^+$ 单调递减. 利用一致连续的定义可得如下命题：

命题11. $f$ 在 $I$ 中一致连续当且仅当 $\displaystyle\lim_{r \to 0^+} \omega_f(r) = 0$.

结束.

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