Chapter 9 Riemann 积分

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2025-09-16

Riemann 研究了有界函数的积分，他把可积函数类从连续函数类做了很大的扩充.

Lebesgue 进一步发现可积函数就是 “几乎处处” 连续的函数.

Part 1 Riemann 可积

设 $f(x)$ 是定义在闭区间 $[a,b]$ 上的函数（不一定连续），考虑由直线 $x = a$ ， $y = b$ ， $y = 0$ 及曲线 $y = f(x)$ 围成的曲边梯形.受连续函数积分定义的启发，为了计算它的面积，我们用若干小矩形面积之和去逼近：将 $[a,b]$ 分割为

a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b,

第 $i$ 个小梯形的面积可用 $f(\xi_i)\Delta x_i$ 近似逼近，其中 $\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]$ ， $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ .于是和 $\sum\limits_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$ 表示曲边梯形 $ABCD$ 的面积的近似值.我们期望，当 $[a,b]$ 的分割越来越细时，这个近似值越来越接近所求面积，用极限表示出来就是

S_{ABCD} = \lim_{\|\pi\| \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i,

这里 $\|\pi\| = \max\limits_{1 \le i \le n} \{\Delta x_i\}$ .如果上述极限存在，则记为 $\int_a^b f(x)\,dx$ .

详细说来，设函数 $f(x)$ 定义于区间 $[a,b]$ ， $[a,b]$ 中有 $n+1$ 个点依次为 $a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$ ，它们将 $[a,b]$ 分成 $n$ 个小区间 $\Delta_i = [x_{i-1}, x_i]$ ( $1 \le i \le n$ )，这些分点及闭子区间构成了 $[a,b]$ 的一个分割，记为

\pi: \quad a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b.

小区间 $\Delta_i$ 的长度为 $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ ，并记

\|\pi\| = \max_{1 \le i \le n} \{\Delta x_i\},

称为分割 $\pi$ 的模.

对于分割 $\pi$ ，任取点 $\xi_i \in \Delta_i = [x_{i-1}, x_i]$ ( $1 \le i \le n$ ).称

\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i

为 $f$ 在 $[a,b]$ 上的一个 Riemann 和或积分和.

· Riemann 积分

定义1 (Riemann 积分). 设 $f$ 如上，如果存在实数 $I$ ，使得任给 $\varepsilon > 0$ ，均存在 $\delta > 0$ ，对任何分割 $\pi$ ，只要 $\|\pi\| < \delta$ ，就有

\left| \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i - I \right| < \varepsilon, \quad \forall\, \xi_i \in [x_{i-1}, x_i], \; i = 1,\cdots,n,

则称 $f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积或可积， $I$ 为 $f$ 在 $[a,b]$ 上的（定）积分，记为

I = \int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\|\pi\| \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i.

其中 $f$ 称为被积函数， $[a,b]$ 称为积分区间， $a,b$ 分别称为积分下限与积分上限.

(1) 积分与变量 $x$ 的选择无关，即
$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(t)\,dt.$
(2) 如果 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，则积分 $\int_a^b f(x)\,dx$ 是唯一确定的；可知连续函数总是可积的.

定理1 (可积的必要条件). 若 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界，反之不然.

假设 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，沿用上面的记号，记 $I$ 为其积分.取 $\varepsilon = 1$ ，由定义，存在 $\delta > 0$ ，对 $[a,b]$ 的任意分割
$\pi: \quad a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b,$
当 $\|\pi\| < \delta$ 时，任取 $\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]$ ( $1 \le i \le n$ )，均有
$\left| \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i - I \right| < 1.$
特别地，取自然数 $n > \dfrac{b-a}{\delta}$ ，对区间 $[a,b]$ 做 $n$ 等分，即
$x_i = a + \frac{i}{n}(b-a), \quad i = 0,\cdots,n,$
此时 $\|\pi\| = \dfrac{b-a}{n} < \delta$ .我们有
$\left| \frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) - I \right| < 1, \quad \forall\, \xi_i \in \left[a + \frac{i-1}{n}(b-a),\, a + \frac{i}{n}(b-a)\right],$
从而
$\left| \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \right| \le \frac{n}{b-a}(1 + |I|).$
对于固定的 $j \in \{1,2,\cdots,n\}$ ，当 $i \ne j$ 时，我们取 $\xi_i = a + \dfrac{i}{n}(b-a)$ ，令
$M = \max_{0 \le i \le n} \left\{ \left| f\left(a + \frac{i}{n}(b-a)\right) \right| \right\},$
则有如下估计：
$\begin{aligned} |f(\xi_j)| &\le \left| \sum_{i \ne j} f\left(a + \frac{i}{n}(b-a)\right) \right| + \frac{n}{b-a}(1 + |I|)\\\\ &\le (n-1)M + \frac{n}{b-a}(1 + |I|), \end{aligned}$
这个估计对任意 $\xi_j \in \left[a + \dfrac{j-1}{n}(b-a),\, a + \dfrac{j}{n}(b-a)\right]$ 均成立，因此有
$|f(x)| \le (n-1)M + \frac{n}{b-a}(1 + |I|), \quad \forall\, x \in [a,b],$
这就说明 $f$ 有界.

有界函数未必可积，Dirichlet 函数 $D(x)$ 即为例证：任给一个分割，当 $\xi_i$ 取 $[x_{i-1}, x_i]$ 中的无理数时，积分和为 $0$ ；当 $\xi_i$ 取 $[x_{i-1}, x_i]$ 中有理数时，积分和为 $1$ .因此 $D(x)$ 的积分和没有极限.

除了连续函数之外，还有哪些有界函数是可积的呢？如同研究有界数列的收敛性要考虑上极限和下极限一样，我们考虑有界函数 Riemann 和的“最大”值和“最小”值.对于分割

\pi: \quad a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b,

记 $M_i = \sup\limits_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x)$ ， $m_i = \inf\limits_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x)$ ，令

S = \sum_{i=1}^n M_i \cdot \Delta x_i, \quad s = \sum_{i=1}^n m_i \cdot \Delta x_i,

我们称 $S$ 为 $f$ 关于 $\pi$ 的 Darboux 上和，简称上和，也记为 $S(\pi)$ 或 $S(\pi,f)$ ；而 $s$ 称为 Darboux 下和，简称下和，也记为 $s(\pi)$ 或 $s(\pi,f)$ .

显然，任何 Riemann 和总是介于下和与上和之间.我们称

\omega_i = M_i - m_i = \sup_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x) - \inf_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x)

为 $f$ 在 $[x_{i-1}, x_i]$ 上的振幅.由定义，上和与下和之差可以表示为

S - s = \sum_{i=1}^n \omega_i \cdot \Delta x_i.

Riemann 对于积分的贡献之一就是证明了 $f$ 可积当且仅当 $S - s$ 的极限为零（当分割的模趋于零时）.Darboux 进一步研究了任意有界函数的上和与下和的极限.

以下总是假定 $f$ 为有界函数，并记 $M = \sup\limits_{x \in [a,b]} f(x)$ ， $m = \inf\limits_{x \in [a,b]} f(x)$ .

下面的引理给出了上和与下和的重要性质，这种单调性质与数列的情形类似.

引理2. 设分割 $\pi'$ 是从 $\pi$ 添加 $k$ 个分点得到的，则有

\begin{aligned} S(\pi) &\ge S(\pi') \ge S(\pi) - (M - m)k\|\pi\|, \\\\ s(\pi) &\le s(\pi') \le s(\pi) + (M - m)k\|\pi\|. \end{aligned}

特别地，对于给定的分割增加新的分点时，下和不减，上和不增.

为了简单起见，我们证明 $k=1$ 的情形.此时，设新添加的分点为 $\bar{x}$ ，则 $\bar{x}$ 必落在某个区间 $(x_{j-1}, x_j)$ 内.由上和的定义，
$\begin{aligned} S(\pi) &= \sum_{i=1}^n M_i \cdot \Delta x_i = M_j \cdot \Delta x_j + \sum_{i \ne j} M_i \cdot \Delta x_i, \\\\ S(\pi') &= M'_j \cdot (\bar{x} - x_{j-1}) + M''_j (x_j - \bar{x}) + \sum_{i \ne j} M_i \cdot \Delta x_i, \end{aligned}$
这里 $M'_j$ 及 $M''_j$ 分别是 $f$ 在区间 $[x_{j-1}, \bar{x}]$ 及 $[\bar{x}, x_j]$ 中的上确界.因为 $M'_j \le M_j$ ， $M''_j \le M_j$ ，从而有
$\begin{aligned} 0 \le S(\pi) - S(\pi') &= (M_j - M'_j)(\bar{x} - x_{j-1}) + (M_j - M''_j)(x_j - \bar{x}) \\\\ &\le (M - m)(\bar{x} - x_{j-1}) + (M - m)(x_j - \bar{x}) \\\\ &= (M - m)\Delta x_j \le (M - m)\|\pi\|. \end{aligned}$
即 $S(\pi) \ge S(\pi') \ge S(\pi) - (M - m)\|\pi\|$ .下和的情形同理可证.

推论3. 对于任意两个分割 $\pi_1$ 及 $\pi_2$ ，有

s(\pi_1) \le S(\pi_2).

用 $\pi_1 \cup \pi_2$ 表示将 $\pi_1$ 和 $\pi_2$ 的所有分点合并后得到的分割（重复的分点只取一次），则 $\pi_1 \cup \pi_2$ 既可以看成由 $\pi_1$ 添加分点而来，又可以看作从 $\pi_2$ 添加分点而来.由引理2，有
$s(\pi_1) \le s(\pi_1 \cup \pi_2) \le S(\pi_1 \cup \pi_2) \le S(\pi_2).$
这也就是说任意下和总是不超过任意上和.

下面的定理和有界数列的上极限和下极限都存在是类似的.

· Darboux 定理

定理 6 (Darboux).

\lim_{\|\pi\| \to 0} S(\pi) = \inf_\pi S(\pi), \quad \lim_{\|\pi\| \to 0} s(\pi) = \sup_\pi s(\pi).

根据定义，总有下面的估计：
$m(b-a) \le s(\pi) \le S(\pi) \le M(b-a),$
因此 $\inf\limits_\pi S(\pi)$ 和 $\sup\limits_\pi s(\pi)$ 都存在.
任给 $\varepsilon > 0$ ，由下确界的定义知，存在分割 $\pi'$ ，使得
$S(\pi') < \inf_\pi S(\pi) + \frac{\varepsilon}{2}.$
设 $\pi'$ 由 $k$ 个分点构成.对于任意另一分割 $\pi$ ， $\pi \cup \pi'$ 至多比 $\pi$ 多 $k$ 个分点.由引理 6.1.2，有
$S(\pi) - (M - m)k\|\pi\| \le S(\pi \cup \pi') \le S(\pi') < \inf_\pi S(\pi) + \frac{\varepsilon}{2}.$
于是，当 $\|\pi\| < \delta = \dfrac{\varepsilon}{2(M - m + 1)k}$ 时，
$\begin{aligned} \inf_\pi S(\pi) &\le S(\pi) \le (M - m)k \cdot \frac{\varepsilon}{2(M - m + 1)k} + \inf_\pi S(\pi) + \frac{\varepsilon}{2} \\\\ &< \inf_\pi S(\pi) + \varepsilon, \end{aligned}$
这就证明了
$\lim_{\|\pi\| \to 0} S(\pi) = \inf_\pi S(\pi).$
下和的极限同理可证.

我们称 $\inf\limits_\pi S(\pi)$ 为 $f$ 在 $[a,b]$ 上的上积分， $\sup\limits_\pi s(\pi)$ 为 $f$ 在 $[a,b]$ 上的下积分.Riemann 和 Darboux 关于函数可积性的结果反映在下面的重要定理中

定理5 (可积的充要条件). 设 $f$ 为 $[a,b]$ 上的有界函数，则以下命题等价：

(1) $f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积.

(2) $f$ 在 $[a,b]$ 上的上积分和下积分相等.

(3) $\displaystyle \lim_{\|\pi\| \to 0} \sum_{i=1}^n \omega_i \cdot \Delta x_i = 0$ .

(4) 任给 $\varepsilon > 0$ ，存在 $[a,b]$ 的某个分割 $\pi$ ，使得

S(\pi) - s(\pi) = \sum_{i=1}^n \omega_i \cdot \Delta x_i < \varepsilon.

(1) $\Rightarrow$ (2): 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，其积分为 $I$ .于是任给 $\varepsilon > 0$ ，存在 $\delta > 0$ ，当 $\|\pi\| < \delta$ 时，有
$I - \varepsilon < \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \cdot \Delta x_i < I + \varepsilon.$
特别地，我们得到
$\begin{aligned} I - \varepsilon &\le \sum_{i=1}^n \inf_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x) \cdot \Delta x_i = s(\pi) \\\\ &\le \sum_{i=1}^n \sup_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x) \cdot \Delta x_i = S(\pi) \\\\ &\le I + \varepsilon, \end{aligned}$
这说明 $\displaystyle \lim_{\|\pi\| \to 0} s(\pi) = \lim_{\|\pi\| \to 0} S(\pi) = I$ .由 Darboux 定理即知 $f$ 的上下积分相等.
(2) $\Rightarrow$ (1): 设 $\inf\limits_\pi s(\pi) = \inf\limits_\pi S(\pi) = I$ .由 Darboux 定理，任给 $\varepsilon > 0$ ，存在 $\delta > 0$ ，当 $\|\pi\| < \delta$ 时，有
$I - \varepsilon < s(\pi) \le \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \cdot \Delta x_i \le S(\pi) < I + \varepsilon,$
这说明
$\lim_{\|\pi\| \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \cdot \Delta x_i = I,$
也就是说 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，积分为 $I$ .
(2) $\iff$ (3): 这可由 Darboux 定理及下式得到
$\lim_{\|\pi\| \to 0} \sum_{i=1}^n \omega_i \cdot \Delta x_i = \lim_{\|\pi\| \to 0} (S(\pi) - s(\pi)) = \inf_\pi S(\pi) - \sup_\pi s(\pi).$
(3) $\Rightarrow$ (4): 这是显然的.
(4) $\Rightarrow$ (2): 如果存在分割 $\pi$ ，使得 $S(\pi) - s(\pi) < \varepsilon$ ，则由
$s(\pi) \le \sup_{\pi'} s(\pi') \le \inf_{\pi'} S(\pi') \le S(\pi)$
知
$0 \le \inf_{\pi'} S(\pi') - \sup_{\pi'} s(\pi') \le S(\pi) - s(\pi) < \varepsilon.$
由 $\varepsilon$ 的任意性即知 $f$ 的上和与下和相等.
这就证明了 (1)(2)(3)(4) 的等价性.

推论6.

(1) 设 $[\alpha, \beta] \subset [a,b]$ ，如果 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，则 $f$ 在 $[\alpha,\beta]$ 上也可积.

(2) 设 $c \in (a,b)$ ，如果 $f$ 在 $[a,c]$ 及 $[c,b]$ 上都可积，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积.

/example/ 设 $f,g$ 均为 $[a,b]$ 上的可积函数，则 $fg$ 也是 $[a,b]$ 上的可积函数.

因为可积函数是有界的，故存在 $K > 0$ ，使得
$|f(x)| \le K, \quad |g(x)| \le K, \quad \forall\, x \in [a,b].$
任给 $\varepsilon > 0$ ，由定理 6.1.5 (3)，存在 $\delta > 0$ ，当 $\|\pi\| < \delta$ 时，
$\sum_\pi \omega_i(f) \cdot \Delta x_i < \frac{\varepsilon}{2K+1}, \quad \sum_\pi \omega_i(g) \cdot \Delta x_i < \frac{\varepsilon}{2K+1}.$
如果 $[x_{i-1}, x_i]$ 为 $\pi$ 中的一个小区间，则
$\begin{aligned} \omega_i(fg) &= \sup_{x',x'' \in [x_{i-1}, x_i]} |f(x')g(x') - f(x'')g(x'')| \\\\ &= \sup_{x',x'' \in [x_{i-1}, x_i]} |f(x')g(x') - f(x')g(x'') + f(x')g(x'') - f(x'')g(x'')| \\\\ &\le \sup_{x',x'' \in [x_{i-1}, x_i]} \left[ |f(x')||g(x') - g(x'')| + |g(x'')||f(x') - f(x'')| \right] \\\\ &\le K(\omega_i(g) + \omega_i(f)), \end{aligned}$
从而有
$\begin{aligned} \sum_\pi \omega_i(fg) \cdot \Delta x_i &\le K \sum_\pi (\omega_i(f) + \omega_i(g)) \cdot \Delta x_i \\\\ &= K \sum_\pi \omega_i(f) \cdot \Delta x_i + K \sum_\pi \omega_i(g) \cdot \Delta x_i \\\\ &< K \cdot \frac{\varepsilon}{2K+1} + K \cdot \frac{\varepsilon}{2K+1} < \varepsilon. \end{aligned}$
由定理5 知 $fg$ 可积.

根据定理5 可以得到几类可积函数，它们不一定总是连续的.

定理7 (可积函数类).

(1) 若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积；
(2) 若有界函数 $f$ 只在 $[a,b]$ 中有限个点处不连续，则 $f$ 可积；
(3) 若 $f$ 为 $[a,b]$ 上的单调函数，则 $f$ 可积.

设 $f$ 为 $[a,b]$ 上定义的函数，如果存在 $[a,b]$ 的分割

\pi: \quad a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b,

使得 $f$ 在每一个小区间 $(x_{i-1}, x_i)$ 上均为常数，则称 $f$ 为阶梯函数.

推论8. 阶梯函数均为可积函数.

定理9 (Riemann). 设 $f$ 为 $[a,b]$ 上的有界函数，则 $f$ 可积的充分必要条件是任给 $\varepsilon, \eta > 0$ ，存在 $[a,b]$ 的某个分割 $\pi$ ，使得

\sum_{\omega_i \ge \eta} \Delta x_i < \varepsilon.

(Necessity) 设 $f$ 可积，则由定理 6.1.5 (4)，任给 $\varepsilon, \eta > 0$ ，存在分割 $\pi$ ，使得
$\sum_{i=1}^n \omega_i \cdot \Delta x_i < \varepsilon \cdot \eta,$
从而
$\eta \cdot \sum_{\omega_i \ge \eta} \Delta x_i \le \sum_{i=1}^n \omega_i \cdot \Delta x_i < \varepsilon \cdot \eta,$
即
$\sum_{\omega_i \ge \eta} \Delta x_i < \varepsilon.$
(Sufficiency) 由已知条件，任给 $\varepsilon > 0$ ，存在 $[a,b]$ 的分割 $\pi$ ，使得
$\sum_{\omega_i \ge \frac{\varepsilon}{2(b-a)}} \Delta x_i < \frac{\varepsilon}{2(M - m + 1)}.$
对于这个分割，有
$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n \omega_i \cdot \Delta x_i &= \sum_{\omega_i < \frac{\varepsilon}{2(b-a)}} \omega_i \cdot \Delta x_i + \sum_{\omega_i \ge \frac{\varepsilon}{2(b-a)}} \omega_i \cdot \Delta x_i \\\\ &\le \frac{\varepsilon}{2(b-a)} \sum_{\omega_i < \frac{\varepsilon}{2(b-a)}} \Delta x_i + (M - m) \sum_{\omega_i \ge \frac{\varepsilon}{2(b-a)}} \Delta x_i \\\\ &\le \frac{\varepsilon}{2(b-a)} (b-a) + (M - m)\frac{\varepsilon}{2(M - m + 1)} < \varepsilon. \end{aligned}$
由定理5 (4) 知 $f$ 可积.

· Lebesgue 定理

定义2 (零测集). 设 $A \subset \mathbb{R}$ , 如果任给 $\varepsilon > 0$ , 均存在覆盖 $A$ 的至多可数个开区间 $\{I_i\}$ , 使得

\sum_{i=1}^{n} |I_i| \leq \varepsilon, \quad \forall\, n \geq 1,

则称 $A$ 为零测集.

(1) 有限集是零测集; (2) 可数集是零测集; (3) 零测集的子集仍为零测集; (4) 可数个零测集之并仍为零测集.

定理10 (Lebesgue). 有界函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积的充分必要条件是它的不连续点集 $D_f$ 为零测集.

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积. 固定 $\delta > 0$ , 任给 $\varepsilon > 0$ , 存在 $[a,b]$ 的分割
$\pi: \, a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b,$
使得
$\sum_{i=1}^{n} \omega_i \cdot \Delta x_i < \varepsilon \cdot \frac{\delta}{2}.$
如果 $x \in D_\delta \cap (x_{i-1},x_i)$ , 则显然 $\omega_i \geq \omega(f,x) \geq \delta$ . 因此从上式可得
$\sum_{D_\delta \cap (x_{i-1},x_i) \neq \varnothing} \Delta x_i < \frac{\varepsilon}{2}.$
显然
$D_\delta \subset \bigcup_{D_\delta \cap (x_{i-1},x_i) \neq \varnothing} (x_{i-1},x_i) \bigcup_{i=0}^{n} \left(x_i - \frac{\varepsilon}{4(n+1)},\, x_i + \frac{\varepsilon}{4(n+1)}\right),$
且
$\sum_{D_\delta \cap (x_{i-1},x_i) \neq \varnothing} \Delta x_i + \frac{2\varepsilon}{4(n+1)} \cdot (n+1) < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon,$
由定义即知 $D_\delta$ 为零测集. 这说明 $D_f = \bigcup_{n \geq 1} D_{\frac{1}{n}}$ 为零测集.
(充分性) 设 $|f(x)| \leq K$ , $\forall\, x \in [a,b]$ . 由假设, $D_f$ 为零测集, 故任给 $\varepsilon > 0$ , 存在开区间 $\{(\alpha_j,\beta_j)\}_{j=1,2,\cdots}$ , 使得 $D_f \subset \bigcup_j (\alpha_j,\beta_j)$ , 且
$\sum_j (\beta_j - \alpha_j) \leq \frac{\varepsilon}{4K+1}.$
对于 $x \in [a,b] - \bigcup_j (\alpha_j,\beta_j)$ , 因为 $f$ 在 $x$ 处连续, 故存在包含 $x$ 的开区间 $I_x$ , 使得 $f$ 在 $I_x$ 上的振幅小于 $\frac{\varepsilon}{2(b-a)}$ . 由于 $\{(\alpha_j,\beta_j), I_x\}$ 为紧致集 $[a,b]$ 的一个开覆盖, 它有有限子覆盖, 且由下面的 Lebesgue 数引理, 可取 $[a,b]$ 的分割
$\pi: \, a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b,$
使得每一个小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 必含于某个 $(\alpha_j,\beta_j)$ 或 $I_x$ 中. 此时
$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} \omega_i \cdot \Delta x_i &\leq \sum_{[x_{i-1},x_i] \subset (\alpha_j,\beta_j)} \omega_i \cdot \Delta x_i + \sum_{[x_{i-1},x_i] \subset I_x} \omega_i \cdot \Delta x_i \\\\ &\leq 2K \sum_{[x_{i-1},x_i] \subset (\alpha_j,\beta_j)} \Delta x_i + \frac{\varepsilon}{2(b-a)} \sum_{[x_{i-1},x_i] \subset I_x} \Delta x_i \\\\ &\leq 2K \sum_j (\beta_j - \alpha_j) + \frac{\varepsilon}{2(b-a)} (b-a) \\\\ &\leq 2K \frac{\varepsilon}{4K+1} + \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon. \end{aligned}$
因此 $f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积.

引理11 (Lebesgue 数). 设 $\{U_\alpha\}_{\alpha \in \Gamma}$ 为闭区间 $[a,b]$ 的一个开覆盖, 则存在正数 $\lambda > 0$ , 使得任何长度不超过 $\lambda$ 的闭区间 $I \subset [a,b]$ 必定完全包含于某个开集 $U_\alpha$ 中.

利用 Lebesgue 定理重新判断定理就显得较简单了（真的吗）

Part 2 积分性质

为了方便起见, 我们约定

\int_b^a f(x)dx = -\int_a^b f(x)dx, \quad a < b,

\int_a^b f(x)dx = 0, \quad a = b.

· 基本性质

定理1.

(1) 设 $f,g$ 在 $[a,b]$ 上可积, $\lambda,\mu \in \mathbb{R}$ , 则 $\lambda f + \mu g$ 在 $[a,b]$ 上可积, 且

\int_a^b (\lambda f + \mu g)dx = \lambda \cdot \int_a^b f(x)dx + \mu \cdot \int_a^b g(x)dx.

(2) 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积, $c \in (a,b)$ , 则 $f$ 在 $[a,c]$ 和 $[c,b]$ 上可积, 且

\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx.

(1) 任给 $\varepsilon > 0$ , 由 $f,g$ 可积知, 存在 $\delta > 0$ , 当 $[a,b]$ 的分割 $\pi$ 满足 $\|\pi\| < \delta$ 时
$\left|\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \cdot \Delta x_i - \int_a^b f(x)dx\right| < \varepsilon, \quad \left|\sum_{i=1}^{n} g(\xi_i) \cdot \Delta x_i - \int_a^b g(x)dx\right| < \varepsilon,$
从而有
$\begin{aligned} &\left|\sum_{i=1}^{n} [\lambda f(\xi_i) + \mu g(\xi_i)] \cdot \Delta x_i - \left(\lambda \cdot \int_a^b f(x)dx + \mu \cdot \int_a^b g(x)dx\right)\right| \\\\ &\leq |\lambda| \cdot \left|\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \cdot \Delta x_i - \int_a^b f(x)dx\right| + |\mu| \cdot \left|\sum_{i=1}^{n} g(\xi_i) \cdot \Delta x_i - \int_a^b g(x)dx\right| \\\\ &\leq |\lambda| \cdot \varepsilon + |\mu| \cdot \varepsilon = (|\lambda| + |\mu|) \cdot \varepsilon, \end{aligned}$
根据可积性及积分的定义知, $\lambda f + \mu g$ 可积, 且积分为
$\lambda \cdot \int_a^b f(x)dx + \mu \cdot \int_a^b g(x)dx.$
(2) 在前节已证 $f$ 在小区间上也可积. 设 $\pi_1, \pi_2$ 分别是 $[a,c]$ 和 $[c,b]$ 的分割, 当 $\|\pi_1\| \to 0$ , $\|\pi_2\| \to 0$ 时, $\pi = \pi_1 \cup \pi_2$ 也满足条件 $\|\pi\| \to 0$ . 于是
$\begin{aligned} \int_a^b f(x)dx &= \lim_{\substack{\|\pi_1\| \to 0 \\ \|\pi_2\| \to 0}} \sum_{\pi_1 \cup \pi_2} f(\xi_i) \cdot \Delta x_i = \lim_{\|\pi_1\| \to 0} \sum_{\pi_1} f(\xi_i)\Delta x_i + \lim_{\|\pi_2\| \to 0} \sum_{\pi_2} f(\xi_i)\Delta x_i \\\\ &= \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx. \end{aligned}$
如果 $a,b,c$ 属于 $f$ 的某可积区间, 则不论它们的相对位置如何, (2) 中等式仍成立.

定理2.

(1) 设 $f$ 为 $[a,b]$ 上的非负可积函数, 则其积分非负；

(2) 如果 $f,g$ 在 $[a,b]$ 上可积, 且 $f(x) \geq g(x)$ , 则

\int_a^b f(x)dx \geq \int_a^b g(x)dx.

(3) 如果 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积, 则 $|f(x)|$ 也可积, 且

\left|\int_a^b f(x)dx\right| \leq \int_a^b |f(x)|dx.

(1) 如果 $f$ 非负可积, 则其积分和总是非负的, 从而积分非负.
(2) 由定理1 (1), $f - g$ 在 $[a,b]$ 上可积, 由 (1) 知
$0 \leq \int_a^b (f - g)dx = \int_a^b f(x)dx - \int_a^b g(x)dx.$
(3) 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积, 则任给 $\varepsilon > 0$ , 存在 $[a,b]$ 的分割 $\pi$ 满足
$\sum_\pi \omega_i(f) \cdot \Delta x_i < \varepsilon.$
因为 $||f(x)| - |f(y)|| \leq |f(x) - f(y)|$ , 故 $\omega_i(|f|) \leq \omega_i(f)$ , 从而
$\sum_\pi \omega_i(|f|) \cdot \Delta x_i < \varepsilon,$
这说明 $|f|$ 可积. 因为
$\left|\sum_\pi f(\xi_i) \cdot \Delta x_i\right| \leq \sum_\pi |f(\xi_i)| \cdot \Delta x_i,$
取极限知
$\left|\int_a^b f(x)dx\right| \leq \int_a^b |f(x)|dx.$

· 中值定理

下面的结果是连续函数的积分中值定理的推广.

定理3 (积分第一中值定理). 设 $f,g$ 在 $[a,b]$ 上可积, 且 $g(x)$ 不变号, 则存在 $\mu$ , $\inf_{x \in [a,b]} f(x) \leq \mu \leq \sup_{x \in [a,b]} f(x)$ , 使得

\int_a^b f(x)g(x)dx = \mu \cdot \int_a^b g(x)dx.

不失一般性, 可设 $g(x) \geq 0$ . 则
$\left(\inf_{x \in [a,b]} f(x)\right)g(x) \leq f(x)g(x) \leq \left(\sup_{x \in [a,b]} f(x)\right)g(x).$
由定理2知
$\inf_{x \in [a,b]} f(x) \cdot \int_a^b g(x)dx \leq \int_a^b f(x)g(x)dx \leq \sup_{x \in [a,b]} f(x) \cdot \int_a^b g(x)dx.$
上式说明, 如果 $\int_a^b g(x)dx = 0$ , 则 $\int_a^b f(x)g(x)dx = 0$ , 此时定理当然成立. 不然, 令
$\mu = \frac{\displaystyle\int_a^b f(x)g(x)dx}{\displaystyle\int_a^b g(x)dx},$
则
$\inf_{x \in [a,b]} f(x) \leq \mu \leq \sup_{x \in [a,b]} f(x)$
中值定理又称中值公式. 当 $g(x) \equiv 1$ 时,
$\int_a^b f(x)dx = \mu \cdot (b - a).$

引理4. 如果 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积, 令

F(x) = \int_a^x f(t)dt, \quad x \in [a,b],

则 $F$ 是 $[a,b]$ 上的连续函数.

定理5 (积分第二中值定理). 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积.

(1) 如果 $g$ 在 $[a,b]$ 上单调递减, 且 $g(x) \geq 0$ , $\forall x \in [a,b]$ , 则存在 $\xi \in [a,b]$ 使得

\int_a^b f(x)g(x)dx = g(a) \cdot \int_a^\xi f(x)dx.

(2) 如果 $g$ 在 $[a,b]$ 上单调递增, 且 $g(x) \geq 0$ , $\forall x \in [a,b]$ , 则存在 $\eta \in [a,b]$ 使得

\int_a^b f(x)g(x)dx = g(b) \cdot \int_\eta^b f(x)dx.

(3) 一般地, 如果 $g$ 为 $[a,b]$ 上的单调函数, 则存在 $\xi \in [a,b]$ , 使得

\int_a^b f(x)g(x)dx = g(a) \cdot \int_a^\xi f(x)dx + g(b) \cdot \int_\xi^b f(x)dx.

(1) 记 $F(x) = \int_a^x f(t)dt$ . 由引理4 知 $F$ 连续, 故达到最大值 $M$ 和最小值 $m$ . 又因为 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积, 故 $f$ 有界.
设 $|f(x)| \leq K$ , $\forall x \in [a,b]$ . 因为 $g$ 单调递减, 由前节结论, $g$ 可积. 从而任给 $\varepsilon > 0$ , 存在 $[a,b]$ 的分割
$\pi: a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$
使得
$\sum_{i=1}^{n} \omega_i(g) \cdot \Delta x_i < \varepsilon.$
因此有 (注意 $F(x_0) = F(a) = 0$ )
$\begin{aligned} \int_a^b f(x)g(x)dx &= \sum_{i=1}^{n} \int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)g(x)dx \\\\ &= \sum_{i=1}^{n} \int_{x_{i-1}}^{x_i} [g(x) - g(x_{i-1})] \cdot f(x)dx + \sum_{i=1}^{n} g(x_{i-1}) \cdot \int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)dx \\\\ &\leq \sum_{i=1}^{n} \int_{x_{i-1}}^{x_i} |g(x) - g(x_{i-1})| \cdot |f(x)|dx + \sum_{i=1}^{n} g(x_{i-1}) \cdot [F(x_i) - F(x_{i-1})] \\\\ &\leq K \cdot \sum_{i=1}^{n} \omega_i(g) \cdot \Delta x_i + \sum_{i=1}^{n-1} F(x_i) \cdot [g(x_{i-1}) - g(x_i)] + F(b) \cdot g(x_{n-1}) \\\\ &\leq K \cdot \varepsilon + M \cdot \sum_{i=1}^{n-1} [g(x_{i-1}) - g(x_i)] + M \cdot g(x_{n-1}) \\\\ &= K \cdot \varepsilon + M \cdot g(a). \end{aligned}$
对于 $-f(x)$ , 上式成为 (注意 $-F$ 的最大值是 $-m$ )
$\int_a^b (-f) \cdot gdx \leq K \cdot \varepsilon - m \cdot g(a),$
结合以上两个不等式, 得到
$m \cdot g(a) - K \cdot \varepsilon \leq \int_a^b f(x)g(x)dx \leq M \cdot g(a) + K \cdot \varepsilon,$
令 $\varepsilon \to 0^+$ , 有
$m \cdot g(a) \leq \int_a^b f(x)g(x)dx \leq M \cdot g(a).$
如果 $g(a) = 0$ , 则 $\int_a^b f(x)g(x)dx = 0$ . 如果 $g(a) > 0$ , 则有
$m \leq \frac{\displaystyle\int_a^b f(x)g(x)dx}{g(a)} \leq M,$
由连续函数的介值定理, 存在 $\xi \in [a,b]$ 使得 $F(\xi) = \dfrac{\displaystyle\int_a^b f(x)g(x)dx}{g(a)}$ . 即
$\int_a^b f(x)g(x)dx = g(a) \cdot F(\xi) = g(a) \cdot \int_a^\xi f(x)dx.$
(2) 令 $\tilde{F}(x) = \int_x^b f(t)dt$ , $\tilde{F}$ 的最大值记为 $\tilde{M}$ . 与 (1) 类似, 有
$\begin{aligned} \int_a^b f(x)g(x)dx &= \sum_{i=1}^{n} \int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)g(x)dx \\\\ &= \sum_{i=1}^{n} \int_{x_{i-1}}^{x_i} [g(x) - g(x_i)]f(x)dx + \sum_{i=1}^{n} g(x_i) \cdot \int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)dx \\\\ &\leq K \cdot \sum_{i=1}^{n} \omega_i(g) \cdot \Delta x_i + \sum_{i=1}^{n} g(x_i)[\tilde{F}(x_{i-1}) - \tilde{F}(x_i)] \\\\ &\leq K \cdot \varepsilon + g(x_1) \cdot \tilde{F}(x_0) + \sum_{i=1}^{n-1} \tilde{F}(x_i)[g(x_{i+1}) - g(x_i)] \\\\ &\leq K \cdot \varepsilon + \tilde{M} \cdot g(x_1) + \tilde{M} \cdot \sum_{i=1}^{n-1} [g(x_{i+1}) - g(x_i)] \\\\ &= K \cdot \varepsilon + \tilde{M} \cdot g(b). \end{aligned}$
剩下的证明和 (1) 类似.
(3) 先设 $g$ 单调递减, 令 $h(x) = g(x) - g(b)$ , 则 $h$ 单调递减, 且 $h \geq 0$ . 由 (1), 存在 $\xi \in [a,b]$ , 使得
$\int_a^b f(x) \cdot h(x)dx = h(a) \cdot \int_a^\xi f(x)dx.$

阶梯逼近. 设 $f(x)$ 为 $[a,b]$ 上的可积函数, 则任给 $\varepsilon > 0$ , 存在阶梯函数 $g(x)$ , 使得

\int_a^b |f(x) - g(x)|dx < \varepsilon.

因为 $f$ 可积, 故任给 $\varepsilon > 0$ , 存在 $[a,b]$ 的分割
$\pi: a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b,$
使得
$\sum_{i=1}^{n} \omega_i(f)\Delta x_i < \varepsilon.$
在 $[a,b]$ 上定义阶梯函数 $g$ , 使得
$g(x) = f(x_{i-1}), \quad \forall x \in [x_{i-1},x_i), \quad i = 1,2,\cdots,n.$
则
$\begin{aligned} \int_a^b |f(x) - g(x)|dx &= \sum_{i=1}^{n} \int_{x_{i-1}}^{x_i} |f(x) - g(x)|dx \\\\ &= \sum_{i=1}^{n} \int_{x_{i-1}}^{x_i} |f(x) - f(x_{i-1})|dx \\\\ &\leq \sum_{i=1}^{n} \int_{x_{i-1}}^{x_i} \omega_i(f)dx \\\\ &= \sum_{i=1}^{n} \omega_i(f)(x_i - x_{i-1}) < \varepsilon. \end{aligned}$
因此 $g(x)$ 就是所求阶梯函数.
显然, 我们构造的阶梯函数还满足条件
$\inf_{x \in [a,b]} f(x) \leq g \leq \sup_{x \in [a,b]} f(x).$

· Riemann-Lebesgue

设 $f(x)$ 为 $[a,b]$ 上的可积函数, 则

\lim_{\lambda \to +\infty} \int_a^b f(x)\sin \lambda x dx = 0, \quad \lim_{\lambda \to +\infty} \int_a^b f(x)\cos \lambda x dx = 0.

以第一个极限为例. 因为 $f$ 可积, 故任给 $\varepsilon > 0$ , 存在 $[a,b]$ 的分割
$\pi: a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b,$
使得
$\sum_{i=1}^{n} \omega_i(f)\Delta x_i < \frac{1}{2}\varepsilon.$
又因为 $f$ 有界, 故存在 $K$ , 使得 $|f(x)| \leq K$ , $\forall x \in [a,b]$ . 于是当 $\lambda > \dfrac{4nK}{\varepsilon}$ 时, 有
$\begin{aligned} \left|\int_a^b f(x)\sin \lambda x dx\right| &= \left|\sum_{i=1}^{n} \int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)\sin \lambda x dx\right| \\\\ &= \left|\sum_{i=1}^{n} \int_{x_{i-1}}^{x_i} [f(x) - f(x_{i-1})]\sin \lambda x dx + \sum_{i=1}^{n} \int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x_{i-1})\sin \lambda x dx\right| \\\\ &\leq \sum_{i=1}^{n} \int_{x_{i-1}}^{x_i} |f(x) - f(x_{i-1})|dx + \sum_{i=1}^{n} |f(x_{i-1})|\left|\int_{x_{i-1}}^{x_i} \sin \lambda x dx\right| \\\\ &\leq \sum_{i=1}^{n} \omega_i(f)\Delta x_i + \sum_{i=1}^{n} K \frac{1}{\lambda}|\cos \lambda x_{i-1} - \cos \lambda x_i| \\\\ &< \frac{1}{2}\varepsilon + \frac{2nK}{\lambda} < \varepsilon. \end{aligned}$
这说明第一个极限等式成立. 第二个极限等式同理可证.

Part 3 基本公式

· 微积分基本定理

定理1 (微积分基本定理). 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积, 且在 $x_0 \in [a,b]$ 处连续, 则 $F(x) = \int_a^x f(t)dt$ 在 $x_0$ 处可导, 且

F'(x_0) = f(x_0).

推论2. 设 $f$ 在 $[a,b]$ 中连续, $u(x): (c,d) \to [a,b]$ 与 $v(x): (c,d) \to [a,b]$ 可微, 则有

\left(\int_{v(x)}^{u(x)} f(t)dt\right)' = f(u(x))u'(x) - f(v(x))v'(x).

应用复合函数求导的链规则, 有
$\begin{aligned} \left(\int_{v(x)}^{u(x)} f(t)dt\right)' &= \left(\int_a^{u(x)} f(t)dt - \int_a^{v(x)} f(t)dt\right)' \\\\ &= \left(\int_a^u f(t)dt\right)'_{u=u(x)} u'(x) - \left(\int_a^{v(x)} f(t)dt\right)'_{v=v(x)} v'(x) \\\\ &= f(u(x))u'(x) - f(v(x))v'(x). \end{aligned}$

· Newton-Leibniz

定理3 (Newton-Leibniz 公式). 设 $F$ 在 $[a,b]$ 上可微, 且 $F' = f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积, 则

\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a).

(此式又写为 $\displaystyle\int_a^b F'(x)dx = F(b) - F(a) = F(x)\big|_a^b$ ).

任取 $[a,b]$ 的一个分割 $\pi: a = x_0 < x_1 < \cdots x_n = b$ , 由微分中值定理, 存在 $\xi_i \in (x_{i-1},x_i)$ , 使得
$F(x_i) - F(x_{i-1}) = F'(\xi_i)(x_i - x_{i-1}) = f(\xi_i)\Delta x_i, \quad i = 1,\cdots,n.$
因此
$F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^{n}[F(x_i) - F(x_{i-1})] = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i,$
因为 $f$ 可积, 故当 $\|\pi\| \to 0$ 时上式右边趋于 $\int_a^b f(x)dx$ , 这说明
$F(b) - F(a) = \int_a^b f(x)dx.$
这就证明了公式.
(1) 本定理结论与第四章第三节相应的定理一样, 只是条件弱一些, 读者可比较两处的证明有何不同.
(2) 需要注意的是, 可微函数的导函数不一定是可积的, 如函数
$F(x) = \begin{cases} x^2 \sin \frac{1}{x^2}, & x \neq 0, \\ 0, & x = 0, \end{cases}$
在 $[0,1]$ 上可微, 其导函数为
$F'(x) = \begin{cases} 2x \sin \frac{1}{x^2} - \frac{2}{x} \cos \frac{1}{x^2}, & x \neq 0, \\\\ 0, & x = 0, \end{cases}$
这是无界函数, 因此不是 Riemann 可积的. 进一步还可以构造导函数有界但不可积的例子.

· 换元法

定理4 (换元法). 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, $x = \varphi(t)$ 在 $[\alpha,\beta]$ 上连续可微, 且 $\varphi([\alpha,\beta]) \subset [a,b]$ , $\varphi(\alpha) = a$ , $\varphi(\beta) = b$ , 则

\int_a^b f(x)dx = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t)dt.

因为 $f$ 连续, 由微积分基本定理, $f$ 有原函数 $F$ , 即 $F'(x) = f(x)$ , 故
$[F(\varphi(t))]' = F'(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t) = f(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t).$
再由 Newton-Leibniz 公式,
$\begin{aligned} \int_\alpha^\beta f(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t)dt &= \int_\alpha^\beta [F(\varphi(t))]'dt \\\\ &= F(\varphi(t))\big|_\alpha^\beta = F(\varphi(\beta)) - F(\varphi(\alpha)) \\\\ &= F(b) - F(a) = \int_a^b f(x)dx. \end{aligned}$

(1) 根据定理 6.3.3 可知, 关于 $\varphi(t)$ 的条件可以降低, 只要 $\varphi'(t)$ 可积, 则定理仍成立;

(2) 对于可积 (不一定连续) 的 $f$ , 下面一般的换元公式仍成立:

(一般的换元法) 设函数 $g(t)$ 在 $[\alpha,\beta]$ 上 Riemann 可积, 固定 $c \in [\alpha,\beta]$ 令 $G(x) = \int_c^x g(t)dt$ , 则 $G$ 为连续函数. 设 $f$ 在区间 $G([\alpha,\beta])$ 上可积, $G(\alpha) = a$ , $G(\beta) = b$ , 则 $f(G(t))g(t)$ 在 $[\alpha,\beta]$ 上可积, 且

\int_a^b f(x)dx = \int_\alpha^\beta f(G(t))g(t)dt.

定理5 (换元法之二). (*) 设 $\varphi$ 为 $[\alpha,\beta]$ 上的单调可微函数, 且 $\varphi'$ 可积. 如果 $f$ 在区间 $\varphi([\alpha,\beta])$ 上可积, $\varphi(\alpha) = a$ , $\varphi(\beta) = b$ , 则 $f(\varphi(t))\varphi'(t)$ 在 $[\alpha,\beta]$ 上可积, 且

\int_a^b f(x)dx = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)dt.

这是上述一般换元公式的一个特殊情形.

· 分部积分

定理6 (分部积分). 设 $u(x), v(x)$ 在 $[a,b]$ 上可微且导函数可积, 则

\int_a^b u(x)v'(x)dx = u(x)v(x)\big|_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)dx.

在题设条件下, 函数 $u(x)v'(x)$ 和 $u'(x)v(x)$ 都是可积的.
$\begin{aligned} &\int_a^b u(x)v'(x)dx + \int_a^b u'(x)v(x)dx \\\\ &= \int_a^b \left(u(x)v'(x) + u'(x)v(x)\right)dx \\\\ &= \int_a^b (uv)'(x)dx = u(x)v(x)\big|_a^b. \end{aligned}$
定理得证.

这里必须提到知名的 Wallis 公式：

/Theorem/
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx= \left\{ \begin{matrix} \dfrac{(n-1)!!}{(n)!} \cdot \dfrac{\pi}{2}, & {n=2k} \\\\ \dfrac{(n-1)!!}{(n)!}, & {n=2k+1} \end{matrix} \right.$

/example/ 设 $f$ 是周期为 $T$ 的可积周期函数. 则对任意的 $a \in \mathbb{R}$ , 有

\int_a^{a+T} f(x)dx = \int_0^T f(x)dx.

/proof/
$\int_a^{a+T} f(x)dx = \int_a^0 f(x)dx + \int_0^T f(x) + \int_T^{a+T} f(x)dx.$
最后的一项积分通过变换 $x = t + T$ 成为
$\int_0^a f(t+T)dt = \int_0^a f(t)dt,$
代入前式就得到了等式的证明.