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Lesson 30 多元函数微分 I

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2026-08-17

微分学的基本方法就是对函数或向量值的函数作线性化，用线性映射去作逼近. 大部分的内容和一元函数相应的内容平行，但有一些地方也有本质不同. 我们将研究多变量函数或映射的微分性质.

Part 1 导数

· 定义

定义1 (方向导数).

设 DD 为 Rn\mathbb{R}^n 中的开集，f:D→Rf: D \to \mathbb{R} 为 DD 中定义的函数. 对于 p∈Dp \in D，以及 Rn\mathbb{R}^n 中单位向量 uu，极限

lim⁡t→0f(p+tu)−f(p)t\lim_{t \to 0} \frac{f(p + tu) - f(p)}{t}

如果存在，则称 ff 在 pp 处沿方向 uu 有方向导数，上述极限记为 ∂f∂u(p)\dfrac{\partial f}{\partial u}(p)，称为 ff 沿 uu 的方向导数.

重要

(1) 方向导数就是一元函数 φ(t)=f(p+tu)\varphi(t) = f(p + tu) 在 t=0t = 0 处的导数. 特别地，当 u=ei=(0,⋯ ,0,1,0,⋯ ,0)u = e_i = (0, \cdots, 0, 1, 0, \cdots, 0)（第 ii 个位置为 1 的单位向量）时，又将 ∂f∂u(p)\dfrac{\partial f}{\partial u}(p) 记为 ∂f∂xi(p)\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(p)，称为 ff 的第 ii 个偏导数. 按定义，有

∂f∂xi(p)=lim⁡t→0f(p1,⋯ ,pi−1,pi+t,pi+1,⋯ ,pn)−f(p1,⋯ ,pn)t.\frac{\partial f}{\partial x_i}(p) = \lim_{t \to 0} \frac{f(p_1, \cdots, p_{i-1}, p_i + t, p_{i+1}, \cdots, p_n) - f(p_1, \cdots, p_n)}{t}.

(2) 偏导数 ∂f∂xi\dfrac{\partial f}{\partial x_i} 又记为 fxi′f'_{x_i} 或 fxif_{x_i}. 如果 fxi′=∂f∂xif'_{x_i} = \dfrac{\partial f}{\partial x_i} 仍然可求偏导数，则记 fyixi′′=∂∂yi(∂f∂xi)f''_{y_i x_i} = \dfrac{\partial}{\partial y_i} \left( \dfrac{\partial f}{\partial x_i} \right)，fxiyi′′=∂∂xi(∂f∂yi)f''_{x_i y_i} = \dfrac{\partial}{\partial x_i} \left( \dfrac{\partial f}{\partial y_i} \right)，称为 2 阶偏导数. 类似地可以定义高阶偏导数.

如果 ff 存在直到 kk 阶的连续偏导数，则称 ff 为 CkC^k 函数. 我们也使用形如这样的记号：

∂2f∂xi2=∂∂xi(∂f∂xi),∂2f∂xi∂yi=∂∂xi(∂f∂yi),⋯ .\frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2} = \frac{\partial}{\partial x_i} \left( \frac{\partial f}{\partial x_i} \right), \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial y_i} = \frac{\partial}{\partial x_i} \left( \frac{\partial f}{\partial y_i} \right), \cdots.

/example/ 设 (x0,y0,z0)∈R3(x_0, y_0, z_0) \in \mathbb{R}^3，求函数的偏导数

f(x,y,z)=[(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2]−12f(x, y, z) = \left[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 \right]^{-\frac{1}{2}}

记

r=[(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2]12r = \left[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 \right]^{\frac{1}{2}}

则

∂f∂x=−1r2⋅∂r∂x=−1r2⋅x−x0r=−x−x0r3.\frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{1}{r^2} \cdot \frac{\partial r}{\partial x} = -\frac{1}{r^2} \cdot \frac{x - x_0}{r} = -\frac{x - x_0}{r^3}.

同理，

∂f∂y=−y−y0r3,∂f∂z=−z−z0r3.\frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{y - y_0}{r^3}, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = -\frac{z - z_0}{r^3}.

和一元函数不同的是，偏导数的存在不能保证多元函数的连续性，这是因为偏导数只反映函数沿特定方向的性质.

/example/

设

f(x,y)={0,when x⋅y=0,1,when x⋅y≠0,f(x, y) = \begin{cases} 0, & \text{when } x \cdot y = 0, \\ 1, & \text{when } x \cdot y \ne 0, \end{cases}

则

∂f∂x(0,0)=lim⁡x→0f(x,0)−f(0,0)x=0,∂f∂y(0,0)=lim⁡y→0f(0,y)−f(0,0)y=0.\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}(0, 0) &= \lim_{x \to 0} \frac{f(x, 0) - f(0, 0)}{x} = 0, \\\\ \frac{\partial f}{\partial y}(0, 0) &= \lim_{y \to 0} \frac{f(0, y) - f(0, 0)}{y} = 0. \end{aligned}

显然，ff 在 (0,0)(0, 0) 处不连续.

定理1 (复合求导). 设 ff 如前，x0∈Dx^0 \in D. 假设 fxi′f'_{x_i} (1≤i≤n1 \le i \le n) 在 x0x^0 处连续，则

(1) ff 在 x0x^0 处连续；

(2) 如果 xi=xi(t)x_i = x_i(t) 在 t0t_0 处可导，x0=(x1(t0),⋯ ,xn(t0))x^0 = (x_1(t_0), \cdots, x_n(t_0))，则 f(x(t))f(x(t)) 在 t=t0t = t_0 处可导，且

df(x(t))dt∣t=t0=∑i=1n∂f∂xi(x(t0))⋅dxidt(t0).\left. \frac{df(x(t))}{dt} \right|_{t = t_0} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(x(t_0)) \cdot \frac{dx_i}{dt}(t_0).

(1) 利用微分中值定理，有

f(x)−f(x0)=∑i=1n[f(x10,⋯ ,xi−10,xi,⋯ ,xn)−f(x10,⋯ ,xi−10,xi0,xi+10,⋯ ,xn)]=∑i=1nfxi′(x10,⋯ ,xi−10,ξi,xi+1,⋯ ,xn)⋅(xi−xi0),\begin{aligned} f(x) - f(x^0) &= \sum_{i=1}^n \left[ f(x_1^0, \cdots, x_{i-1}^0, x_i, \cdots, x_n) - f(x_1^0, \cdots, x_{i-1}^0, x_i^0, x_{i+1}^0, \cdots, x_n) \right] \\\\ &= \sum_{i=1}^n f'_{x_i}(x_1^0, \cdots, x_{i-1}^0, \xi_i, x_{i+1}, \cdots, x_n) \cdot (x_i - x_i^0), \end{aligned}

当 x→x0x \to x^0 时，ξi→xi0\xi_i \to x_i^0，由 fxi′f'_{x_i} 在 x0x^0 处连续知 lim⁡x→x0(f(x)−f(x0))=0\displaystyle\lim_{x \to x^0} (f(x) - f(x^0)) = 0.

(2) 由 (1) 的证明，有

dfdt∣t=t0=lim⁡t→t0f(x(t))−f(x(t0))t−t0=lim⁡t→t0∑i=1nfxi′(x10,⋯ ,xi−10,ξi,xi+1,⋯ ,xn)⋅x(t)−xi(t0)t−t0=∑i=1nfxi′(x0)⋅xi′(t0).\begin{aligned} \left. \frac{df}{dt} \right|_{t = t_0} &= \lim_{t \to t_0} \frac{f(x(t)) - f(x(t_0))}{t - t_0} \\\\ &= \lim_{t \to t_0} \sum_{i=1}^n f'_{x_i}(x_1^0, \cdots, x_{i-1}^0, \xi_i, x_{i+1}, \cdots, x_n) \cdot \frac{x(t) - x_i(t_0)}{t - t_0} \\\\ &= \sum_{i=1}^n f'_{x_i}(x^0) \cdot x'_i(t_0). \end{aligned}

这就证明了定理.

推论2. 在定理的条件下，如果 u=∑i=1nui⋅ei=(u1,u2,⋯ ,un)u = \sum_{i=1}^n u_i \cdot e_i = (u_1, u_2, \cdots, u_n)，则

∂f∂u(p)=ddt∣t=0f(p+tu)=∑i=1n∂f∂xi(p)⋅ui.\frac{\partial f}{\partial u}(p) = \left. \frac{d}{dt} \right|_{t=0} f(p + tu) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(p) \cdot u_i.

定理3 (求导次序的可交换性). 设 f:D→Rf: D \to \mathbb{R} 为二元函数，(x0,y0)∈D(x_0, y_0) \in D. 如果 fxy′′f''_{xy} 和 fyx′′f''_{yx} 在 (x0,y0)(x_0, y_0) 处连续，则

fxy′′(x0,y0)=fyx′′(x0,y0).f''_{xy}(x_0, y_0) = f''_{yx}(x_0, y_0).

对于充分小的 k≠0k \ne 0，h≠0h \ne 0 分别考虑函数

φ(y)=f(x0+h,y)−f(x0,y),ψ(x)=f(x,y0+k)−f(x,y0).\varphi(y) = f(x_0 + h, y) - f(x_0, y), \\ \psi(x) = f(x, y_0 + k) - f(x, y_0).

由微分中值定理，有

φ(y0+k)−φ(y0)=φy′(y0+θ1k)k(0<θ1<1)=[fy′(x0+h,y0+θ1k)−fy′(x0,y0+θ1k)]k=fxy′′(x0+θ2h,y0+θ1k)hk.(0<θ2<1)\begin{aligned} \varphi(y_0 + k) - \varphi(y_0) &= \varphi'_y(y_0 + \theta_1 k) k \quad (0 < \theta_1 < 1) \\\\ &= [f'_y(x_0 + h, y_0 + \theta_1 k) - f'_y(x_0, y_0 + \theta_1 k)] k \\\\ &= f''_{xy}(x_0 + \theta_2 h, y_0 + \theta_1 k) h k. \quad (0 < \theta_2 < 1) \end{aligned}

同理，

ψ(x0+h)−ψ(x0)=fyx′′(x0+θ3h,y0+θ4k)hk,(0<θ3,θ4<1).\psi(x_0 + h) - \psi(x_0) = f''_{yx}(x_0 + \theta_3 h, y_0 + \theta_4 k) h k, \quad (0 < \theta_3, \theta_4 < 1).

易见，

φ(y0+k)−φ(y0)=ψ(x0+h)−ψ(x0),\varphi(y_0 + k) - \varphi(y_0) = \psi(x_0 + h) - \psi(x_0),

故有

fxy′′(x0+θ2h,y0+θ1k)=fyx′′(x0+θ3h,y0+θ4k).f''_{xy}(x_0 + \theta_2 h, y_0 + \theta_1 k) = f''_{yx}(x_0 + \theta_3 h, y_0 + \theta_4 k).

令 k,h→0k, h \to 0，由 fxy′′, fyx′′f''_{xy},\ f''_{yx} 在 (x0,y0)(x_0, y_0) 处连续即得欲证等式.

推论4. 多元函数的各阶偏导数如果连续，则其值与求导次序无关.

· 几何应用

设 σ:[α,β]→Rn\sigma: [\alpha, \beta] \to \mathbb{R}^n 为连续映射，称 σ\sigma 为 Rn\mathbb{R}^n 中的一条连续曲线. 记

σ(t)=(x1(t),⋯ ,xn(t)),t∈[α,β]. \sigma(t) = (x_1(t), \cdots, x_n(t)), \quad t \in [\alpha, \beta].

如果 xi(t)x_i(t) (1≤i≤n1 \le i \le n) 在 t=t0t = t_0 处均可导，则称 σ\sigma 在 t0t_0 处可导，记

σ′(t0)=dσdt(t0)=dσdt∣t=t0=(x1′(t0),⋯ ,xn′(t0)), \sigma'(t_0) = \frac{d\sigma}{dt}(t_0) = \left. \frac{d\sigma}{dt} \right|_{t = t_0} = (x'_1(t_0), \cdots, x'_n(t_0)),

称 σ′(t0)\sigma'(t_0) 为 σ\sigma 在 t0t_0 处的切向量.

当 σ′(t0)≠0\sigma'(t_0) \ne 0 时，称 {σ(t0)+σ′(t0)u∣u∈R}\{ \sigma(t_0) + \sigma'(t_0) u \mid u \in \mathbb{R} \} 为 σ\sigma 在 t0t_0 处的切线，其方程可写为 p−σ(t0)=u⋅σ′(t0)p - \sigma(t_0) = u \cdot \sigma'(t_0)，或

x−x0x1′(t0)=y−y0x2′(t0)=z−z0x3′(t0). \frac{x - x_0}{x'_1(t_0)} = \frac{y - y_0}{x'_2(t_0)} = \frac{z - z_0}{x'_3(t_0)}.

经过 σ(t0)\sigma(t_0) 且与切线正交的超平面称为法面，其方程为

(q−σ(t0))⋅σ′(t0)=0.(q - \sigma(t_0)) \cdot \sigma'(t_0) = 0.

/example/

设 ff 为一元可微函数，令

σ(t)=(t,f(t)),\sigma(t) = (t, f(t)),

则 σ′(t0)=(1,f′(t0))\sigma'(t_0) = (1, f'(t_0))，σ\sigma 在 t0t_0 处切线方程为

x−t01=y−f(t0)f′(t0),\frac{x - t_0}{1} = \frac{y - f(t_0)}{f'(t_0)},

即

y=f(t0)+f′(t0)(x−t0).y = f(t_0) + f'(t_0)(x - t_0).

这也就是一元函数图像的切线.

/example/ 求螺旋线的切线和法面方程

σ(t)=(acos⁡t,asin⁡t,t),t∈R \sigma(t) = (a \cos t, a \sin t, t), \quad t \in \mathbb{R}

在 t=t0t = t_0 处，σ′(t0)=(−asin⁡t0,acos⁡t0,1)\sigma'(t_0) = (-a \sin t_0, a \cos t_0, 1)，故切线方程为

x−acos⁡t0−asin⁡t0=y−asin⁡t0acos⁡t0=z−t01,\frac{x - a \cos t_0}{-a \sin t_0} = \frac{y - a \sin t_0}{a \cos t_0} = \frac{z - t_0}{1},

法面方程化简后为 −xasin⁡t0+yacos⁡t0+z−t0=0-x a \sin t_0 + y a \cos t_0 + z - t_0 = 0.

设 DD 为 Rm\mathbb{R}^m 中的开集，我们称连续映射 r:D→Rnr: D \to \mathbb{R}^n (n>mn > m) 为 Rn\mathbb{R}^n 中的一个参数曲面. 设 u0=(u10,⋯ ,um0)∈Du^0 = (u_1^0, \cdots, u_m^0) \in D，则

u↦r(u10,⋯ ,ui−10,u,ui+10,⋯ ,um0)u \mapsto r(u_1^0, \cdots, u_{i-1}^0, u, u_{i+1}^0, \cdots, u_m^0)

为 Rn\mathbb{R}^n 中曲线，称为参数曲面上的 uiu_i 曲线. 如果 uiu_i 曲线在 ui0u_i^0 处可导，则记

∂r∂ui(u0)=rui(u0)=rui′(u0),\frac{\partial r}{\partial u_i}(u^0) = r_{u_i}(u^0) = r'_{u_i}(u^0),

它是该曲线在 u0u^0 处的切向量. 如果 {rui′(u0)∣1≤i≤m}\{ r'_{u_i}(u^0) \mid 1 \le i \le m \} 线性无关（此时称 u0u^0 为正则点），则称由这些切向量张成的、经过 r(u0)r(u^0) 的子线性空间为切空间，切空间的正交补称为法空间，法空间中的向量称为法向量.

对于 R3\mathbb{R}^3 中的曲面，设其参数表示为

r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)),

则其切向量为

ru′(u0,v0)=(xu′(u0,v0),yu′(u0,v0),zu′(u0,v0)),rv′(u0,v0)=(xv′(u0,v0),yv′(u0,v0),zv′(u0,v0)).\begin{aligned} r'_u(u_0, v_0) &= (x'_u(u_0, v_0), y'_u(u_0, v_0), z'_u(u_0, v_0)), \\\\ r'_v(u_0, v_0) &= (x'_v(u_0, v_0), y'_v(u_0, v_0), z'_v(u_0, v_0)). \end{aligned}

如果 ru′(u0,v0)r'_u(u_0, v_0)，rv′(u0,v0)r'_v(u_0, v_0) 线性无关，则

n⃗=ru′(u0,v0)×rv′(u0,v0)=(yu′zv′−zu′yv′,  zu′xv′−xu′zv′,  xu′yv′−yu′xv′)≠0,\begin{aligned} \vec{n} &= r'_u(u_0, v_0) \times r'_v(u_0, v_0) \\\\ &= (y'_u z'_v - z'_u y'_v, \; z'_u x'_v - x'_u z'_v, \; x'_u y'_v - y'_u x'_v) \ne 0, \end{aligned}

n⃗\vec{n} 为法向量，从而曲面的切平面方程为

(p−r(u0,v0))⋅n⃗=0(p - r(u_0, v_0)) \cdot \vec{n} = 0

或改写为

∣x−x(u0,v0)y−y(u0,v0)z−z(u0,v0)xu′(u0,v0)yu′(u0,v0)zu′(u0,v0)xv′(u0,v0)yv′(u0,v0)zv′(u0,v0)∣=0.\begin{vmatrix} x - x(u_0, v_0) & y - y(u_0, v_0) & z - z(u_0, v_0) \\\\ x'_u(u_0, v_0) & y'_u(u_0, v_0) & z'_u(u_0, v_0) \\\\ x'_v(u_0, v_0) & y'_v(u_0, v_0) & z'_v(u_0, v_0) \end{vmatrix} = 0.

/example/ 求球面 S2={(x,y,z)∈R3∣x2+y2+z2=1}S^2 = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x^2 + y^2 + z^2 = 1 \} 的切面.

球面可写成参数曲面

x=sin⁡θcos⁡φ,  y=sin⁡θsin⁡φ,  z=cos⁡θ,x = \sin \theta \cos \varphi, \; y = \sin \theta \sin \varphi, \; z = \cos \theta,

其中 0≤θ≤π0 \le \theta \le \pi，0≤φ≤2π0 \le \varphi \le 2\pi. 其法向量为

n⃗=(cos⁡θcos⁡φ,cos⁡θsin⁡φ,−sin⁡θ)×(−sin⁡θsin⁡φ,sin⁡θcos⁡φ,0)=sin⁡θ⋅(x,y,z),\begin{aligned} \vec{n} &= (\cos \theta \cos \varphi, \cos \theta \sin \varphi, -\sin \theta) \times (-\sin \theta \sin \varphi, \sin \theta \cos \varphi, 0) \\\\ &= \sin \theta \cdot (x, y, z), \end{aligned}

故球面在 (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) 处切平面方程为

(x−x0)⋅x0+(y−y0)⋅y0+(z−z0)⋅z0=0.(x - x_0) \cdot x_0 + (y - y_0) \cdot y_0 + (z - z_0) \cdot z_0 = 0.

一般地，当 m=n−1m = n - 1 时，称参数曲面 r:D→Rnr: D \to \mathbb{R}^n 为超曲面. 如果 rr 表示为

r(u)=r(u1,⋯ ,un−1)=(x1(u1,⋯ ,un−1),⋯ ,xn(u1,⋯ ,un−1)),r(u) = r(u_1, \cdots, u_{n-1}) = (x_1(u_1, \cdots, u_{n-1}), \cdots, x_n(u_1, \cdots, u_{n-1})),

在正则点 u0u^0 处，曲面的 n−1n - 1 个切向量为

rui′(u0)=(∂x1∂ui(u0),⋯ ,∂xn∂ui(u0)),i=1,⋯ ,n−1.r'_{u_i}(u^0) = \left( \frac{\partial x_1}{\partial u_i}(u^0), \cdots, \frac{\partial x_n}{\partial u_i}(u^0) \right), \quad i = 1, \cdots, n - 1.

记 N⃗=(N1,⋯ ,Nn)\vec{N} = (N_1, \cdots, N_n)，其中

Ni=(−1)i−1∂(x1,⋯ ,xi−1,xi+1⋯ ,xn)∂(u1,⋯ ,un−1)(u0),N_i = (-1)^{i-1} \frac{\partial (x_1, \cdots, x_{i-1}, x_{i+1} \cdots, x_n)}{\partial (u_1, \cdots, u_{n-1})}(u^0),

这里我们采用了下面的记号

∂(x1,⋯ ,xi−1,xi+1⋯ ,xn)∂(u1,⋯ ,un−1)(u0)=det⁡(∂x1∂u1(u0)⋯∂x1∂un−1(u0)⋮⋱⋮∂xi−1∂u1(u0)⋯∂xi−1∂un−1(u0)∂xi+1∂u1(u0)⋯∂xi+1∂un−1(u0)⋮⋱⋮∂xn∂u1(u0)⋯∂xn∂un−1(u0)).\frac{\partial (x_1, \cdots, x_{i-1}, x_{i+1} \cdots, x_n)}{\partial (u_1, \cdots, u_{n-1})}(u^0) = \det \begin{pmatrix} \dfrac{\partial x_1}{\partial u_1}(u^0) & \cdots & \dfrac{\partial x_1}{\partial u_{n-1}}(u^0) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial x_{i-1}}{\partial u_1}(u^0) & \cdots & \dfrac{\partial x_{i-1}}{\partial u_{n-1}}(u^0) \\\\ \dfrac{\partial x_{i+1}}{\partial u_1}(u^0) & \cdots & \dfrac{\partial x_{i+1}}{\partial u_{n-1}}(u^0) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial x_n}{\partial u_1}(u^0) & \cdots & \dfrac{\partial x_n}{\partial u_{n-1}}(u^0) \end{pmatrix}.

根据矩阵行列式的性质，N⃗\vec{N} 与 rui′(u0)r'_{u_i}(u^0) (1≤i≤n−11 \le i \le n - 1) 均正交，即 N⃗\vec{N} 是曲面的法向量.

Part 2 映射的微分

回忆一下，对于一元函数而言，可微是指该函数可以被线性函数一阶逼近. 我们也可以利用线性化的思想来研究多元函数.

设 D⊂RnD \subset \mathbb{R}^n 为开集，向量值函数 f:D→Rmf: D \to \mathbb{R}^m 写成分量形式为

f(x1,⋯ ,xn)=(f1(x1,⋯ ,xn),⋯ ,fm(x1,⋯ ,xn)),f(x_1, \cdots, x_n) = (f_1(x_1, \cdots, x_n), \cdots, f_m(x_1, \cdots, x_n)),

为方便起见，在下面的内容中欧氏空间里的向量有时以列向量来表示.

· 微分

定义1 (微分).

设 ff 如上，x0=(x10,⋯ ,xn0)∈Dx^0 = (x_1^0, \cdots, x_n^0) \in D. 如果存在 m×nm \times n 阶的矩阵 A=(aij)m×nA = (a_{ij})_{m \times n}，使得对于 x0x^0 附近的点 xx，有

∥f(x)−[f(x0)+A⋅(x−x0)]∥=o(∥x−x0∥),(x→x0)\|f(x) - [f(x^0) + A \cdot (x - x^0)]\| = o(\|x - x^0\|), \quad (x \to x^0)

则称 ff 在 x0x^0 处可微，线性映射

df(x0):Rn→Rmv↦A⋅vdf(x^0): \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \\ v \mapsto A \cdot v

称为 ff 在 x0x^0 处的微分.

命题1 (可微 ⇒\Rightarrow 可导). 如果 f:D→Rmf: D \to \mathbb{R}^m 在 x0x^0 处可微，则其分量 fif_i (1≤i≤m1 \le i \le m) 在 x0x^0 处存在方向导数，并且

A=(∂fi∂xj(x0))m×n.A = \left( \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x^0) \right)_{m \times n}.

从微分的定义可以看出，如果 ff 在 x0x^0 处可微，则 ff 在 x0x^0 处连续. 下面以 m=1m = 1 为例说明方向导数的存在性.

为此，取单位向量 uu，由定义，我们有

f(x0+tu)−f(x0)=A⋅(x0+tu−x0)+o(∥x0+tu−x0∥)=tA⋅u+o(∣t∣),\begin{aligned} f(x^0 + tu) - f(x^0) &= A \cdot (x^0 + tu - x^0) + o(\|x^0 + tu - x^0\|) \\\\ &= tA \cdot u + o(|t|), \end{aligned}

这说明 ∂f∂u(x0)=A⋅u\dfrac{\partial f}{\partial u}(x^0) = A \cdot u，即方向导数存在. 特别地，

∂f∂xi(x0)=A⋅ei,A=(∂f∂x1(x0),⋯ ,∂f∂xn(x0)).\frac{\partial f}{\partial x_i}(x^0) = A \cdot e_i, \quad A = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}(x^0), \cdots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(x^0) \right).

这就证明了命题.

如果 fif_i (1≤i≤m1 \le i \le m) 的偏导数均存在，则记 Jf=(∂fi∂xj)m×nJf = \left( \dfrac{\partial f_i}{\partial x_j} \right)_{m \times n}，称为 ff 的 Jacobian 矩阵.

当 m=1m = 1 时，又记 JfJf 为 ∇f\nabla f，称为 ff 的梯度.

JfJf 在每一点的值构成一个映射 Jf:D→RmnJf: D \to \mathbb{R}^{mn}，这里我们将 m×nm \times n 阶矩阵视为 Rmn\mathbb{R}^{mn} 中的点.

定理2 (可微的充分条件). 如果 JfJf 在 DD 中存在，且它作为映射在 x0x^0 处连续，则 ff 在 x0x^0 处可微.

仍以 m=1m = 1 为例来证明. 由条件，fxi′f'_{x_i} 在 x0x^0 处连续，i=1,2,⋯ ,ni = 1, 2, \cdots, n. 根据微分中值定理，有

f(x)−f(x0)=∑i=1n[f(x10,⋯ ,xi−10,xi,xi+1,⋯ ,xn)−f(x10,⋯ ,xi0,xi+1,⋯ ,xn)]=∑i=1nfxi′(x10,⋯ ,xi−10,xi0+θi(xi−xi0),xi+1,⋯ ,xn)⋅(xi−xi0)=∑i=1nfxi′(x0)⋅(xi−xi0)+∑i=1nαi⋅(xi−xi0),\begin{aligned} f(x) - f(x^0) &= \sum_{i=1}^n \left[ f(x_1^0, \cdots, x_{i-1}^0, x_i, x_{i+1}, \cdots, x_n) - f(x_1^0, \cdots, x_i^0, x_{i+1}, \cdots, x_n) \right] \\\\ &= \sum_{i=1}^n f'_{x_i}(x_1^0, \cdots, x_{i-1}^0, x_i^0 + \theta_i(x_i - x_i^0), x_{i+1}, \cdots, x_n) \cdot (x_i - x_i^0) \\\\ &= \sum_{i=1}^n f'_{x_i}(x^0) \cdot (x_i - x_i^0) + \sum_{i=1}^n \alpha_i \cdot (x_i - x_i^0), \end{aligned}

其中，当 xi→xi0x_i \to x_i^0 时

αi=fxi′(x10,⋯ ,xi−10,xi0+θi(xi−xi0),xi+1,⋯ ,xn)−fxi′(x10,⋯ ,xn0)→0,\alpha_i = f'_{x_i}(x_1^0, \cdots, x_{i-1}^0, x_i^0 + \theta_i(x_i - x_i^0), x_{i+1}, \cdots, x_n) - f'_{x_i}(x_1^0, \cdots, x_n^0) \to 0,

从而

∥f(x)−[f(x0)+∑i=1nfxi′(x0)⋅(xi−xi0)]∥≤(∑i=1nαi2)12⋅∥x−x0∥=o(∥x−x0∥),\begin{aligned} \left\| f(x) - \left[ f(x^0) + \sum_{i=1}^n f'_{x_i}(x^0) \cdot (x_i - x_i^0) \right] \right\| &\le \left( \sum_{i=1}^n \alpha_i^2 \right)^{\frac{1}{2}} \cdot \|x - x^0\| \\\\ &= o(\|x - x^0\|), \end{aligned}

即 ff 在 x0x^0 处可微.

如果我们把 m×nm \times n 的矩阵视为 Rmn\mathbb{R}^{mn} 中的点，则矩阵也可定义自然的范数. 即，如果 A=(aij)m×nA = (a_{ij})_{m \times n}，则其范数定义为

∥A∥=[∑j=1n∑i=1maij2]12.\|A\| = \left[ \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m a_{ij}^2 \right]^{\frac{1}{2}}.

由 Schwarz 不等式可得

∥A⋅v∥≤∥A∥⋅∥v∥,∀v∈Rn.\|A \cdot v\| \le \|A\| \cdot \|v\|, \quad \forall v \in \mathbb{R}^n.

· 链式法则

定理3 (复合求导). 设 Δ⊂Rl\Delta \subset \mathbb{R}^l 为开集，D⊂RmD \subset \mathbb{R}^m 为开集，g:Δ→Dg: \Delta \to D 及 f:D→Rnf: D \to \mathbb{R}^n 为映射. 如果 gg 在 u0∈Δu^0 \in \Delta 处可微，ff 在 x0=g(u0)x^0 = g(u^0) 处可微，则复合映射 h=f∘g:Δ→Rnh = f \circ g: \Delta \to \mathbb{R}^n 在 u0u^0 处可微，且

Jh(u0)=Jf(x0)⋅Jg(u0).Jh(u^0) = Jf(x^0) \cdot Jg(u^0).

因为 gg 在 u0u^0 处可微，故

g(u)−g(u0)=Jg(u0)⋅(u−u0)+Rg(u,u0),(1)g(u) - g(u^0) = Jg(u^0) \cdot (u - u^0) + R_g(u, u^0), \tag{1}

其中 Rg(u,u0)=o(∥u−u0∥)R_g(u, u^0) = o(\|u - u^0\|). 同理，因为 ff 在 x0=g(u0)x^0 = g(u^0) 处可微，故

f(x)−f(x0)=Jf(x0)⋅(x−x0)+Rf(x,x0),(2)f(x) - f(x^0) = Jf(x^0) \cdot (x - x^0) + R_f(x, x^0), \tag{2}

其中 Rf(x,x0)=o(∥x−x0∥)R_f(x, x^0) = o(\|x - x^0\|).

由 (1) 知，当 u→u0u \to u^0 时，g(u)→g(u0)=x0g(u) \to g(u^0) = x^0. 以 x=g(u)x = g(u) 代入 (2)，得

f∘g(u)−f∘g(u0)=Jf(x0)(g(u)−g(u0))+Rf(g(u),g(u0))=Jf(x0)⋅Jg(u0)⋅(u−u0)+Rf∘g(u,u0),(3)\begin{aligned} f \circ g(u) - f \circ g(u^0) &= Jf(x^0)(g(u) - g(u^0)) + R_f(g(u), g(u^0)) \\\\ &= Jf(x^0) \cdot Jg(u^0) \cdot (u - u^0) + R_{f \circ g}(u, u^0), \end{aligned} \tag{3}

其中

Rf∘g(u,u0)=Jf(x0)⋅Rg(u,u0)+Rf(g(u),g(u0)),R_{f \circ g}(u, u^0) = Jf(x^0) \cdot R_g(u, u^0) + R_f(g(u), g(u^0)),

我们有如下估计

∥Rf∘g(u,u0)∥≤∥Jf(x0)⋅Rg(u,u0)∥+∥Rf(g(u),g(u0)∥≤∥Jf(x0)∥⋅∥Rg(u,u0)∥+o(∥g(u)−g(u0)∥)=o(∥u−u0∥)+o(O(∥u−u0∥))=o(∥u−u0∥).\begin{aligned} \|R_{f \circ g}(u, u^0)\| &\le \|Jf(x^0) \cdot R_g(u, u^0)\| + \|R_f(g(u), g(u^0)\| \\\\ &\le \|Jf(x^0)\| \cdot \|R_g(u, u^0)\| + o(\|g(u) - g(u^0)\|) \\\\ &= o(\|u - u^0\|) + o(O(\|u - u^0\|)) = o(\|u - u^0\|). \end{aligned}

由 (3) 及微分的定义知 f∘gf \circ g 在 u0u^0 处可微，且 J(f∘g)(u0)=Jf(x0)⋅Jg(u0)J(f \circ g)(u^0) = Jf(x^0) \cdot Jg(u^0).

如果将 ff, gg 分别表示成分量形式

yi=fi(x1,⋯ ,xm),i=1,⋯ ,n,xj=gj(u1,⋯ ,ul),j=1,⋯ ,m.\begin{aligned} y_i = f_i(x_1, \cdots, x_m), \quad i = 1, \cdots, n, \\\\ x_j = g_j(u_1, \cdots, u_l), \quad j = 1, \cdots, m. \end{aligned}

则 J(f∘g)(u0)=Jf(x0)⋅Jg(u0)J(f \circ g)(u^0) = Jf(x^0) \cdot Jg(u^0) 写成矩阵的形式为

(∂y1∂u1(u0)⋯∂y1∂ul(u0)⋮⋱⋮∂yn∂u1(u0)⋯∂yn∂ul(u0))n×l=(∂y1∂x1(x0)⋯∂y1∂xm(x0)⋮⋱⋮∂yn∂x1(x0)⋯∂yn∂xm(x0))n×m⋅(∂x1∂u1(u0)⋯∂x1∂ul(u0)⋮⋱⋮∂xm∂u1(u0)⋯∂xm∂ul(u0))m×l,\begin{pmatrix} \dfrac{\partial y_1}{\partial u_1}(u^0) & \cdots & \dfrac{\partial y_1}{\partial u_l}(u^0) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial y_n}{\partial u_1}(u^0) & \cdots & \dfrac{\partial y_n}{\partial u_l}(u^0) \end{pmatrix}_{n \times l} \\ = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial y_1}{\partial x_1}(x^0) & \cdots & \dfrac{\partial y_1}{\partial x_m}(x^0) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial y_n}{\partial x_1}(x^0) & \cdots & \dfrac{\partial y_n}{\partial x_m}(x^0) \end{pmatrix}_{n \times m} \cdot \begin{pmatrix} \dfrac{\partial x_1}{\partial u_1}(u^0) & \cdots & \dfrac{\partial x_1}{\partial u_l}(u^0) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial x_m}{\partial u_1}(u^0) & \cdots & \dfrac{\partial x_m}{\partial u_l}(u^0) \end{pmatrix}_{m \times l},

即

∂yi∂uj(u0)=∑s=1m∂yi∂xs(g(u0))⋅∂xs∂uj(u0).\frac{\partial y_i}{\partial u_j}(u^0) = \sum_{s=1}^m \frac{\partial y_i}{\partial x_s}(g(u^0)) \cdot \frac{\partial x_s}{\partial u_j}(u^0).

这也就是所谓的链规则.

设 u=f(x,y)u = f(x, y) 可微，x=rcos⁡θx = r \cos \theta, y=rsin⁡θy = r \sin \theta，证明

(∂u∂x)2+(∂u∂y)2=(∂u∂r)2+1r2(∂u∂θ)2.\left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right)^2 = \left( \frac{\partial u}{\partial r} \right)^2 + \frac{1}{r^2} \left( \frac{\partial u}{\partial \theta} \right)^2.

由链规则，

∂u∂r=∂u∂x⋅∂x∂r+∂u∂y⋅∂y∂r=∂u∂xcos⁡θ+∂u∂ysin⁡θ∂u∂θ=∂u∂x⋅∂x∂θ+∂u∂y⋅∂y∂θ=−r∂u∂xsin⁡θ+r∂u∂ycos⁡θ\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial r} &= \frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial r} = \frac{\partial u}{\partial x} \cos \theta + \frac{\partial u}{\partial y} \sin \theta \\\\ \frac{\partial u}{\partial \theta} &= \frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial \theta} = -r \frac{\partial u}{\partial x} \sin \theta + r \frac{\partial u}{\partial y} \cos \theta \end{aligned}

这说明

(∂u∂r)2+1r2(∂u∂θ)2=(∂u∂xcos⁡θ+∂u∂ysin⁡θ)2+(−∂u∂xsin⁡θ+∂u∂ycos⁡θ)2=(∂u∂x)2+(∂u∂y)2.\begin{aligned} \left( \frac{\partial u}{\partial r} \right)^2 + \frac{1}{r^2} \left( \frac{\partial u}{\partial \theta} \right)^2 &= \left( \frac{\partial u}{\partial x} \cos \theta + \frac{\partial u}{\partial y} \sin \theta \right)^2 + \left( -\frac{\partial u}{\partial x} \sin \theta + \frac{\partial u}{\partial y} \cos \theta \right)^2 \\\\ &= \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right)^2. \end{aligned}

设 z=f(u,v,w)z = f(u, v, w), v=φ(u,s)v = \varphi(u, s), s=ψ(u,w)s = \psi(u, w)，求 ∂z∂u\dfrac{\partial z}{\partial u}, ∂z∂w\dfrac{\partial z}{\partial w}.

按照定义，

z=f(u,v,w)=f(u,φ(u,s),w)=f(u,φ(u,ψ(u,w)),w).z = f(u, v, w) = f(u, \varphi(u, s), w) = f(u, \varphi(u, \psi(u, w)), w).

由链规则，

∂z∂u=∂f∂u+∂f∂v⋅∂v∂u=∂f∂u+∂f∂v⋅(∂φ∂u+∂φ∂s⋅∂s∂u)=∂f∂u+∂f∂v⋅∂φ∂u+∂f∂v⋅∂φ∂s⋅∂ψ∂u∂z∂w=∂f∂w+∂f∂v⋅∂v∂w=∂f∂w+∂f∂v(∂φ∂s⋅∂s∂w)=∂f∂w+∂f∂v⋅∂φ∂s⋅∂ψ∂w.\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial u} &= \frac{\partial f}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \left( \frac{\partial \varphi}{\partial u} + \frac{\partial \varphi}{\partial s} \cdot \frac{\partial s}{\partial u} \right) \\\\ &= \frac{\partial f}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial \varphi}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial \varphi}{\partial s} \cdot \frac{\partial \psi}{\partial u} \\\\ \frac{\partial z}{\partial w} &= \frac{\partial f}{\partial w} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial w} = \frac{\partial f}{\partial w} + \frac{\partial f}{\partial v} \left( \frac{\partial \varphi}{\partial s} \cdot \frac{\partial s}{\partial w} \right) \\\\ &= \frac{\partial f}{\partial w} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial \varphi}{\partial s} \cdot \frac{\partial \psi}{\partial w}. \end{aligned}

· 形式微分

最后，我们简单地介绍全微分（形式微分）的概念. 设 f:D→Rf: D \to \mathbb{R} 为可微的多元函数，由定义，ff 在 xx 处的微分 df(x)df(x) 是一个线性映射

df(x):Rm→Rv↦∑i=1m∂f∂xi⋅vi.\begin{aligned} &df(x): \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} \\\\ &v \mapsto \sum_{i=1}^m \frac{\partial f}{\partial x_i} \cdot v_i. \end{aligned}

我们将映射 x↦df(x)x \mapsto df(x) 称为 ff 的全微分，记为 dfdf. 由于

d(λf+μg)(x)=λdf(x)+μdg(x),∀λ,μ∈R,d(\lambda f + \mu g)(x) = \lambda df(x) + \mu dg(x), \quad \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R},

因此，全微分之间也可以定义加法和数乘运算，在这个意义下，有

df=∑i=1n∂f∂xi⋅dxi(∗)df = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} \cdot dx^i \quad (*)

d(λf+μg)=λdf+μdg,d(f⋅g)=fdg+gdf,d(fg)=gdf−fdgg2(g≠0).\begin{aligned} &d(\lambda f + \mu g) = \lambda df + \mu dg, \\\\ &d(f \cdot g) = f dg + g df, \\\\ &d\left( \frac{f}{g} \right) = \frac{g df - f dg}{g^2} \quad (g \ne 0). \end{aligned}

如果将 (*) 写成矩阵形式：

df=Jf⋅(dx1,⋯ ,dxn)T,df = Jf \cdot (dx_1, \cdots, dx_n)^T,

则复合映射的链规则可写为

d(f∘g)=J(f∘g)⋅(du1,⋯ ,dum)T=Jf(x)⋅Jg(u)(du1,⋯ ,dum)T(x=g(u))=Jf(g(u))⋅(dg1,⋯ ,dgn)T.\begin{aligned} d(f \circ g) &= J(f \circ g) \cdot (du_1, \cdots, du_m)^T \\\\ &= Jf(x) \cdot Jg(u)(du_1, \cdots, du_m)^T \quad (x = g(u)) \\\\ &= Jf(g(u)) \cdot (dg_1, \cdots, dg_n)^T. \end{aligned}

这个等式称为全微分的形式不变性.

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2026/8/17 07:22
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