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Lesson 41 曲面曲线积分 IV

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2026-08-17

我们知道，Newton-Leibniz 公式是微积分的一个核心定理。对于一元函数来说，Newton-Leibniz 公式有两种表现形式：

  • 如果 f(x)f(x) 为 [a,b][a,b] 上的连续函数，则 F(x)=∫axf(t)dtF(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)dt 为 [a,b][a,b] 上的可微函数，且

    F′(x)=f(x),orddx∫axf(t)dt=f(x);F'(x) = f(x),\quad \text{or}\quad \frac{d}{dx} \int_a^x f(t)dt = f(x);

  • 设 ff 在 [a,b][a,b] 上连续可微，则

    ∫abf′(x)dx=f(b)−f(a),or∫abdf=f∣ab.\int_a^b f'(x)dx = f(b) - f(a),\quad \text{or}\quad \int_a^b df = f\big|_a^b.

我们现在想把这些公式推广到多元函数。

Part 3 余面积公式

· Formula

设 f:Rn→Rf: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} 为 C1C^1 函数，且 ∥∇f∥≠0\|\nabla f\| \ne 0。取区间 [a,b]⊂f(Rn)[a,b] \subset f(\mathbb{R}^n)，则当 t∈[a,b]t \in [a,b] 时，f−1(t)f^{-1}(t) 为 Rn\mathbb{R}^n 中的超曲面。

事实上，任取 x0∈f−1(t)x^0 \in f^{-1}(t)，因为 ∥∇f(x0)∥≠0\|\nabla f(x^0)\| \ne 0，不妨设 ∂f∂xn(x0)≠0\dfrac{\partial f}{\partial x_n}(x^0) \ne 0。根据隐函数定理，方程

f(x1,⋯ ,xn)−t=0f(x_1,\cdots,x_n) - t = 0

存在 C1C^1 的（局部）解

xn=φt(x1,⋯ ,xn−1),(x1,⋯ ,xn−1)∈D⊂Rn−1.x_n = \varphi_t(x_1,\cdots,x_{n-1}),\quad (x_1,\cdots,x_{n-1}) \in D \subset \mathbb{R}^{n-1}.

即在 x0x^0 附近 f−1(t)f^{-1}(t) 是参数曲面。根据隐函数定理，上式中的 φt\varphi_t 关于 tt 也是 C1C^1 的。在该方程中对 tt 求导，得

∂f∂xn∂xn∂t−1=0,\frac{\partial f}{\partial x_n} \frac{\partial x_n}{\partial t} - 1 = 0,

即

∂xn∂t=(∂f∂xn)−1.\frac{\partial x_n}{\partial t} = \left( \frac{\partial f}{\partial x_n} \right)^{-1}.

考虑变量替换 Φ:D×[a,b]→Rn\Phi: D \times [a,b] \to \mathbb{R}^n，

Φ(x1,⋯ ,xn−1,t)=(x1,⋯ ,xn−1,φt(x1,⋯ ,xn−1)),\Phi(x_1,\cdots,x_{n-1},t) = (x_1,\cdots,x_{n-1},\varphi_t(x_1,\cdots,x_{n-1})),

易见其 Jacobi 行列式为

det⁡JΦ=∂φt∂t=(∂f∂xn)−1.\det J\Phi = \frac{\partial \varphi_t}{\partial t} = \left( \frac{\partial f}{\partial x_n} \right)^{-1}.

如果记 Ω=Φ(D×[a,b])\Omega = \Phi(D \times [a,b])，根据多重积分的变量替换公式就有

v(Ω)=∫D×[a,b]∣(∂f∂xn)−1∣dx1⋯dxn−1dt=∫abdt∫D∣(∂f∂xn)−1∣dx1⋯dxn−1.\begin{aligned} v(\Omega) &= \int_{D \times [a,b]} \left| \left( \frac{\partial f}{\partial x_n} \right)^{-1} \right| dx_1 \cdots dx_{n-1} dt \\\\ &= \int_a^b dt \int_D \left| \left( \frac{\partial f}{\partial x_n} \right)^{-1} \right| dx_1 \cdots dx_{n-1}. \end{aligned}

另一方面，我们考虑水平集 f−1(t)f^{-1}(t) 上的第一型曲面积分。根据隐函数定理，上述参数方程满足条件

∂φt∂xi=−∂f∂xi(∂f∂xn)−1,i=1,⋯ ,n−1.\frac{\partial \varphi_t}{\partial x_i} = -\frac{\partial f}{\partial x_i} \left( \frac{\partial f}{\partial x_n} \right)^{-1},\quad i = 1,\cdots,n-1.

因此

1+∥∇φt∥2=∥∇f∥2(∂f∂xn)−2.1 + \|\nabla \varphi_t\|^2 = \|\nabla f\|^2 \left( \frac{\partial f}{\partial x_n} \right)^{-2}.

根据第一型曲面积分的定义（即图象曲面的面积公式）得

∫f−1(t)∩Ωdσ∥∇f∥=∫D1∥∇f∥1+∥∇φt∥2dx1⋯dxn−1=∫D∣(∂f∂xn)−1∣dx1⋯dxn−1,\begin{aligned} \int_{f^{-1}(t) \cap \Omega} \frac{d\sigma}{\|\nabla f\|} &= \int_D \frac{1}{\|\nabla f\|} \sqrt{1 + \|\nabla \varphi_t\|^2} dx_1 \cdots dx_{n-1} \\\\ &= \int_D \left| \left( \frac{\partial f}{\partial x_n} \right)^{-1} \right| dx_1 \cdots dx_{n-1}, \end{aligned}

因此上式可改写为

v(Ω)=∫abdt∫f−1(t)∩Ω1∥∇f∥dσ.v(\Omega) = \int_a^b dt \int_{f^{-1}(t) \cap \Omega} \frac{1}{\|\nabla f\|} d\sigma.

这个公式称为余面积公式（co-area formula）。类似的推导可以得到这个公式的一般情形，它可以看成重积分“投影法”的一般形式。

定理1（余面积公式）

设 ff 条件如上。如果 gg 为 f−1([a,b])f^{-1}([a,b]) 上的连续函数，则

∫f−1([a,b])g(x)dx1⋯dxn=∫abdt∫f−1(t)g∥∇f∥dσ.\int_{f^{-1}([a,b])} g(x) dx_1 \cdots dx_n = \int_a^b dt \int_{f^{-1}(t)} \frac{g}{\|\nabla f\|} d\sigma.

这个公式将多重积分和第一型曲面积分联系起来了。我们看几个例子。

· 例题

/example/

ff 为坐标函数 f(x)=xnf(x) = x_n。

当 f(x)=xnf(x) = x_n 时，∥∇f∥=1\|\nabla f\| = 1。设 D⊂Rn−1D \subset \mathbb{R}^{n-1}，则余面积公式成为

∫D×[a,b]g(x)dx1⋯dxn=∫abdxn∫Dg(x)dx1⋯dxn−1,\int_{D \times [a,b]} g(x) dx_1 \cdots dx_n = \int_a^b dx_n \int_D g(x) dx_1 \cdots dx_{n-1},

这也就是多重积分化累次积分的公式。

/example/ 球体的体积和球面的面积之间的关系

考虑函数 f(x)=r=∥x∥f(x) = r = \|x\|，当 x≠0x \ne 0 时 ∥∇r∥=1\|\nabla r\| = 1，根据余面积公式就得到

v(BR)=v(f−1[0,R])=lim⁡ε→0v(f−1[ε,R])=∫0Rσ(St)dt,v(B_R) = v(f^{-1}[0,R]) = \lim_{\varepsilon \to 0} v(f^{-1}[\varepsilon,R]) = \int_0^R \sigma(S_t) dt,

其中，BRB_R 是半径为 RR 的球体 {∥x∥≤R}\{\|x\| \le R\}，StS_t 是半径为 tt 的球面 {∥x∥=t}\{\|x\| = t\}。特别地，在 (14.15) 中关于 RR 求导，得

σ(SR)=ddRv(BR),\sigma(S_R) = \frac{d}{dR} v(B_R),

我们已经知道球体的体积公式 v(BR)=ωnRnv(B_R) = \omega_n R^n，因此从上式可立即得到球面的面积公式

σ(SR)=nωnRn−1.\sigma(S_R) = n \omega_n R^{n-1}.

例如，n=2n = 2 时半径为 RR 的圆盘的面积为 πR2\pi R^2，从而半径为 RR 的圆周的周长为 (πR2)′=2πR(\pi R^2)' = 2\pi R；n=3n = 3 时，半径为 RR 的球体体积为 (4/3)πR3(4/3)\pi R^3，因此半径为 RR 的球面的面积为 ((4/3)πR3)′=4πR2((4/3)\pi R^3)' = 4\pi R^2。

需要说明的是，如果函数 ff 有有限个临界点（驻点），则在广义积分的意义下，余面积公式也成立。

当 m≤nm \le n 时，对于满足一定条件的映射 f:Rn→Rmf: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m，也有更一般的余面积公式。

Part 4 Green 公式

· 边界定向

考虑平面 R2\mathbb{R}^2 上的有界闭域 Ω\Omega，假定其边界由有限条 C1C^1 曲线组成。R2\mathbb{R}^2 上的标准定向限制在 Ω\Omega 上就得到 Ω\Omega 的定向。Ω\Omega 的边界 ∂Ω\partial\Omega 有所谓的诱导定向。

这个诱导定向定义如下：设 (x(t),y(t))(x(t), y(t)) 为 ∂Ω\partial\Omega 的一段参数曲线，则 (x′(t),y′(t))(x'(t), y'(t)) 为切向量，(y′(t),−x′(t))(y'(t), -x'(t)) 为法向量。如果 (y′(t),−x′(t))(y'(t), -x'(t)) 为相对于区域 Ω\Omega 的外法向量，则参数 tt 决定的边界方向称为诱导定向。

直观上看，从外法向到切向的旋转方向是逆时针的，这种确定边界定向的方法又称作“右手法则”。

/example/ 环形区域的边界定向

设 b>a>0b > a > 0，平面区域 {a2≤x2+y2≤b2}\{a^2 \le x^2 + y^2 \le b^2\} 是半径为 bb 的大圆盘内挖去一个半径为 aa 的小圆盘形成的环形区域。

它的边界由圆周 {x2+y2=b2}\{x^2 + y^2 = b^2\} 和 {x2+y2=a2}\{x^2 + y^2 = a^2\} 组成。

按照诱导定向的定义，在大圆 {x2+y2=b2}\{x^2 + y^2 = b^2\} 上，方向是逆时针的；而在小圆 {x2+y2=a2}\{x^2 + y^2 = a^2\} 上，方向应是顺时针的。

· Green

下面的重要结果将二重积分和第二型曲线积分联系起来了，这个结果通常称为 Green 公式。

定理2（Green）

设 Ω\Omega 为平面有界区域，其边界由有限条 C1C^1 曲线组成，边界的定向为诱导定向。如果 P,QP, Q 为 Ω\Omega 上的连续可微函数，则

∫Ω(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy=∫∂ΩPdx+Qdy.\int_\Omega \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx dy = \int_{\partial\Omega} P dx + Q dy.

/proof/

我们只证明这个定理的一个特殊情形，一般的情形可以借助下一章的单位分解定理转化为这种特殊情形。先做一些预备工作。

设 φ:D→Ω\varphi: D \to \Omega 为 C2C^2 的可逆映射，记为

φ(u,v)=(x(u,v),y(u,v)),(u,v)∈D.\varphi(u,v) = (x(u,v), y(u,v)),\quad (u,v) \in D.

它可以看成 R2\mathbb{R}^2 内的一个坐标变换。假设 φ\varphi 是保持定向的，且 φ(∂D)=∂Ω\varphi(\partial D) = \partial\Omega。我们考察在这个坐标变换下二重积分和第二型曲线积分如何变化。为此设 φ\varphi 将曲线 γ(t)=(u(t),v(t))\gamma(t) = (u(t),v(t)) 映为曲线 σ(t)⊂∂Ω\sigma(t) \subset \partial\Omega，t∈[α,β]t \in [\alpha,\beta]。按照第二型曲线积分的定义，有

∫σPdx+Qdy=∫αβ[P(σ(t))x′(t)+Q(σ(t))y′(t)]dt.\int_\sigma P dx + Q dy = \int_\alpha^\beta \left[ P(\sigma(t)) x'(t) + Q(\sigma(t)) y'(t) \right] dt.

根据复合求导的链规则，有

P(σ(t))x′(t)+Q(σ(t))y′(t)=P⋅(xu⋅u′(t)+xv⋅v′(t))+Q⋅(yu⋅u′(t)+yv⋅v′(t))=(P⋅xu+Q⋅yu)u′(t)+(P⋅xv+Q⋅yv)v′(t).\begin{aligned} P(\sigma(t)) x'(t) + Q(\sigma(t)) y'(t) &= P \cdot (x_u \cdot u'(t) + x_v \cdot v'(t)) + Q \cdot (y_u \cdot u'(t) + y_v \cdot v'(t))\\\\ &= (P \cdot x_u + Q \cdot y_u) u'(t) + (P \cdot x_v + Q \cdot y_v) v'(t).\\ \end{aligned}

如果记

P~=P⋅xu+Q⋅yu,Q~=P⋅xv+Q⋅yv,\tilde{P} = P \cdot x_u + Q \cdot y_u,\quad \tilde{Q} = P \cdot x_v + Q \cdot y_v,

则上面的计算表明

∫γP~du+Q~dv=∫σPdx+Qdy,\int_\gamma \tilde{P} du + \tilde{Q} dv = \int_\sigma P dx + Q dy,

用到整个区域边界上就得到

∫∂DP~du+Q~dv=∫∂ΩPdx+Qdy,\int_{\partial D} \tilde{P} du + \tilde{Q} dv = \int_{\partial\Omega} P dx + Q dy,

这是第二型曲线积分在坐标变换下的变换公式。

同理，根据复合求导的链规则，有

∂P∂u=∂P∂x⋅xu+∂P∂y⋅yu,∂P∂v=∂P∂x⋅xv+∂P∂y⋅yv,\frac{\partial P}{\partial u} = \frac{\partial P}{\partial x} \cdot x_u + \frac{\partial P}{\partial y} \cdot y_u,\quad \frac{\partial P}{\partial v} = \frac{\partial P}{\partial x} \cdot x_v + \frac{\partial P}{\partial y} \cdot y_v,

由此得到

∂P∂y(xuyv−yuxv)=∂P∂vxu−∂P∂uxv,\frac{\partial P}{\partial y} (x_u y_v - y_u x_v) = \frac{\partial P}{\partial v} x_u - \frac{\partial P}{\partial u} x_v,

同理可得

∂Q∂x(xuyv−yuxv)=∂Q∂uyv−∂Q∂vyu,\frac{\partial Q}{\partial x} (x_u y_v - y_u x_v) = \frac{\partial Q}{\partial u} y_v - \frac{\partial Q}{\partial v} y_u,

因此有

(∂Q∂x−∂P∂y)⋅∂(x,y)∂(u,v)=(∂P∂uxv+∂Q∂uyv)−(∂P∂vxu+∂Q∂vyu)=∂(Pxv+Qyv)∂u−∂(Pxu+Qyu)∂v=∂Q~∂u−∂P~∂v.\begin{aligned} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \cdot \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} &= \left( \frac{\partial P}{\partial u} x_v + \frac{\partial Q}{\partial u} y_v \right) - \left( \frac{\partial P}{\partial v} x_u + \frac{\partial Q}{\partial v} y_u \right)\\\\ &= \frac{\partial(P x_v + Q y_v)}{\partial u} - \frac{\partial(P x_u + Q y_u)}{\partial v}\\\\ &= \frac{\partial \tilde{Q}}{\partial u} - \frac{\partial \tilde{P}}{\partial v}. \end{aligned}

当 φ\varphi 保持定向时，xuyv−yuxv>0x_u y_v - y_u x_v > 0，根据重积分的变量代换公式就有

∫D(∂Q~∂u−∂P~∂v)dudv=∫Ω(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy.\int_D \left( \frac{\partial \tilde{Q}}{\partial u} - \frac{\partial \tilde{P}}{\partial v} \right) du dv = \int_\Omega \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx dy.

结合起来我们就发现，要说明 Green 公式在 Ω\Omega 上成立，只要说明它在 DD 上成立即可，反之亦然。

因此，证明 Green 公式的思路就是将一般的区域变为较为简单的区域，然后在较为简单的区域上考虑问题。

为此仍设 σ(t)=(x(t),y(t))\sigma(t) = (x(t), y(t)) 为 ∂Ω\partial\Omega 的一段 C2C^2 参数曲线，t∈[α,β]t \in [\alpha,\beta]。设 t0∈(α,β)t_0 \in (\alpha,\beta)，且 x′(t0)≠0x'(t_0) \ne 0。

通过适当的平移变换以及保定向的正交变换，不妨设 (x(t0),y(t0))=(0,0)(x(t_0), y(t_0)) = (0,0)，(x′(t0),y′(t0))=(1,0)(x'(t_0), y'(t_0)) = (1,0)。

因为 x′(t0)>0x'(t_0) > 0，由反函数定理，在 t=t0t = t_0 附近 tt 可以表示为 xx 的函数，从而曲线 σ(t)\sigma(t) 可以用参数 xx 表示，即 σ\sigma 可以表示为 σ(x)=(x,ϕ(x))\sigma(x) = (x, \phi(x))，x∈[−a,a]x \in [-a,a]。

这个过程就是将曲线重新参数化，使得 σ\sigma 表示为函数 ϕ(x)\phi(x) 的图像。由于 ϕ(0)=0\phi(0) = 0，存在 0<ε<a/20 < \varepsilon < a/2，使得

∣ϕ(x)∣<a/2,∀x∈[−ε,ε].|\phi(x)| < a/2,\quad \forall x \in [-\varepsilon,\varepsilon].

现在我们再作一个假设：设 P,QP, Q 在 Bε(0)B_\varepsilon(0) 之外恒为零。这样，我们就只需在简单区域 Ω∩Bε(0)\Omega \cap B_\varepsilon(0) 中考虑 Green 公式即可。

由于 (1,0)(1,0) 是原点处的切向，按照右手法则，(0,−1)(0,-1) 应是原点处的单位外法向，因此区域位于 ϕ(x)\phi(x) 图像的上方。

为了简化区域，进一步考虑坐标变换

φ(x,y)=(x,y−ϕ(x)),(x,y)∈[−a,a]×[−a,a].\varphi(x,y) = (x, y - \phi(x)),\quad (x,y) \in [-a,a] \times [-a,a].

这是保持定向的坐标变换，φ(x,ϕ(x))=(x,0)\varphi(x,\phi(x)) = (x,0)，即 φ\varphi 将 σ\sigma 变为了 xx 轴，且

φ(Ω∩Bε(0))⊂[−a,a]×[−a,a].\varphi(\Omega \cap B_\varepsilon(0)) \subset [-a,a] \times [-a,a].

由于边界诱导定向要求法向量 (0,−1)(0,-1) 方向向外，因此 φ(Bε(0)∩Ω)\varphi(B_\varepsilon(0) \cap \Omega) 实际上包含于上半平面。

由于 P,QP, Q 在 Bε(0)B_\varepsilon(0) 之外恒为零，我们现在只要在矩形 [−a,a]×[0,a][-a,a] \times [0,a] 上证明 Green 公式就可以了。

矩形 I=[−a,a]×[0,a]I = [-a,a] \times [0,a] 由四条边组成，其中 (x,0)(x,0) (x∈[−a,a]x \in [-a,a]) 代表原来的曲线 σ\sigma，而 P,QP, Q 在其余三条边附近均为零。

因此

∫∂IPdx+Qdy=∫−aaP(x,0)dx,\int_{\partial I} P dx + Q dy = \int_{-a}^a P(x,0) dx,

且

∫I(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy=∫0ady∫−aa∂Q∂xdx−∫−aadx∫0a∂P∂ydy=∫0a[Q(a,y)−Q(−a,y)]dy−∫−aa[P(x,a)−P(x,0)]dx=∫−aaP(x,0)dx,\begin{aligned} \int_I \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx dy & = \int_0^a dy \int_{-a}^a \frac{\partial Q}{\partial x} dx - \int_{-a}^a dx \int_0^a \frac{\partial P}{\partial y} dy\\\\ &= \int_0^a [Q(a,y) - Q(-a,y)] dy - \int_{-a}^a [P(x,a) - P(x,0)] dx\\\\ &= \int_{-a}^a P(x,0) dx, \end{aligned}

这说明 Green 公式在 II 上成立。

注意：在证明过程中，我们假设了边界是 C2C^2 曲线，这个条件可以减弱为 C1C^1。更一般地，利用光滑逼近可以证明，当区域边界由有限条可求长连续曲线组成时，Green 公式仍然成立。特别地，当边界由分段 C1C^1 曲线组成时，Green 公式成立。

/example/ 简单闭曲线所围区域的面积

设 γ(t)=(x(t),y(t))\gamma(t) = (x(t), y(t)) (t∈[α,β]t \in [\alpha,\beta]) 为 R2\mathbb{R}^2 上分段连续可微的简单闭曲线，它围成的区域记为 Ω\Omega。在 Green 公式中取 P(x,y)=−yP(x,y) = -y, Q(x,y)=xQ(x,y) = x，则得到如下面积公式

σ(Ω)=12∫Ω(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy=12∫ΩPdx+Qdy=12∫αβ[x(t)y′(t)−x′(t)y(t)]dt,\begin{aligned} \sigma(\Omega) &= \frac{1}{2} \int_\Omega \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx dy = \frac{1}{2} \int_\Omega P dx + Q dy\\\\ &= \frac{1}{2} \int_\alpha^\beta [x(t) y'(t) - x'(t) y(t)] dt, \end{aligned}

其中，参数 tt 选取的方向是逆时针的。

作为例子，考虑椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 所围成的面积。椭圆的参数方程为

x(t)=acos⁡t,y(x)=bsin⁡t,t∈[0,2π],x(t) = a \cos t,\quad y(x) = b \sin t,\quad t \in [0,2\pi],

于是其面积为

σ=12∫02π(acos⁡t⋅bcos⁡t+asin⁡t⋅bsin⁡t)dt=πab.\sigma = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} (a \cos t \cdot b \cos t + a \sin t \cdot b \sin t) dt = \pi ab.

· 平面分部积分公式

在 Green 公式的条件下，如果 vv 为 C1C^1 函数，则由

∂(Qv)∂x−∂(Pv)∂y=[∂Q∂x−∂P∂y]v+[Q∂v∂x−P∂v∂y]\frac{\partial(Qv)}{\partial x} - \frac{\partial(Pv)}{\partial y} = \left[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right] v + \left[ Q \frac{\partial v}{\partial x} - P \frac{\partial v}{\partial y} \right]

可得

∫Ω[∂Q∂x−∂P∂y]v dxdy=∫∂Ωv(P dx+Q dy)−∫Ω[Q∂v∂x−P∂v∂y]dxdy.\int_\Omega \left[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right] v\, dx dy = \int_{\partial\Omega} v(P\, dx + Q\, dy) - \int_\Omega \left[ Q \frac{\partial v}{\partial x} - P \frac{\partial v}{\partial y} \right] dx dy.

这可以看成平面上的分部积分公式。

对于 C2C^2 函数 uu，如果记

Δu=uxx+uyy=∂2u∂x2+∂2u∂y2,∇u=(ux,uy)=(∂u∂x,∂u∂y),\Delta u = u_{xx} + u_{yy} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2},\quad \nabla u = (u_x, u_y) = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y} \right),

以 P=−uyP = -u_y, Q=uxQ = u_x 代入上式得

∫ΩvΔu dxdy=∫∂Ωv(−uy dx+ux dy)−∫Ω∇u⋅∇v dxdy.\int_\Omega v \Delta u\, dx dy = \int_{\partial\Omega} v(-u_y\, dx + u_x\, dy) - \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v\, dx dy.

利用单位外法向量 n⃗\vec{n}、弧长参数 ss 以及等式

n⃗ ds=(y′(t),−x′(t)) dt,\vec{n}\, ds = (y'(t), -x'(t))\, dt,

可以将上式改写为

∫ΩvΔu dxdy=∫∂Ωv(∇u⋅n⃗) ds−∫Ω∇u⋅∇v dxdy,\int_\Omega v \Delta u\, dx dy = \int_{\partial\Omega} v(\nabla u \cdot \vec{n})\, ds - \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v\, dx dy,

或用方向导数继续改写为

∫ΩvΔu dxdy=∫∂Ωv∂u∂n ds−∫Ω∇u⋅∇v dxdy.\int_\Omega v \Delta u\, dx dy = \int_{\partial\Omega} v \frac{\partial u}{\partial n}\, ds - \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v\, dx dy.

如果 vv 也是 C2C^2 函数，则在上式中交换 uu 与 vv 的位置，然后两式相减可得

∫Ω(vΔu−uΔv) dxdy=∫∂Ω(v∂u∂n−u∂v∂n)ds.\int_\Omega (v \Delta u - u \Delta v)\, dx dy = \int_{\partial\Omega} \left( v \frac{\partial u}{\partial n} - u \frac{\partial v}{\partial n} \right) ds.

这些都是很有用的公式。

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2026/8/17 07:22
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